حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (0) = 3$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$

خطوة 2.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{x}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{x}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x} y = \int x e^{x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

خطوة 6.2

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

خطوة 6.3

بسّط.

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ على $e^{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ على $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.3.1.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.3.1.2.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 8

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $3$ عن $y$ في $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ .

$3 = 0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$ .

$0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

خطوة 9.2

بسّط $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اطرح $1$ من $0$ .

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

خطوة 9.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1} = 3$

خطوة 9.2.2.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$- 1 + C = 3$

خطوة 9.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$C = 3 + 1$

خطوة 9.3.2

أضف $3$ و $1$ .

$C = 4$

خطوة 10

عوّض بـ $4$ عن $C$ في $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $4$ .

$y = x - 1 + \frac{4}{e^{x}}$