حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (y^{2} - 1) d x + y (x^{2} - 1) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $x (y^{2} - 1) d x$ من كلا المتعادلين.

$y (x^{2} - 1) d y = - x (y^{2} - 1) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x^{2} - 1$ من $y (x^{2} - 1)$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{y^{2} - 1}$ و $y$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 1$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $y^{2} - 1$ من $(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $y^{2} - 1$ من $x (y^{2} - 1)$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

خطوة 3.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

خطوة 3.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{x^{2} - 1} x d x$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{- 1}{x^{2} - 1}$ و $x$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} - 1} d x$

خطوة 3.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} - 1^{2}} d x$

خطوة 3.7.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

خطوة 3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . إذن $d u_{1} = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

خطوة 4.2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y + 1$ و $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.1.1.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.1.1.3.4.2

اضرب $y + 1$ في $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.1.1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

خطوة 4.2.1.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

خطوة 4.2.1.1.3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

خطوة 4.2.1.1.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.3.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

خطوة 4.2.1.1.3.8.2

اضرب $y - 1$ في $1$ .

$y + 1 + y - 1$

خطوة 4.2.1.1.3.8.3

أضف $y$ و $y$ .

$2 y + 1 - 1$

خطوة 4.2.1.1.3.8.4

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.3.8.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$2 y + 0$

خطوة 4.2.1.1.3.8.4.2

أضف $2 y$ و $0$ .

$2 y$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

خطوة 4.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

خطوة 4.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

خطوة 4.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

خطوة 4.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

خطوة 4.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . إذن $d u_{2} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

خطوة 4.3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x + 1$ و $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 4.3.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 4.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 4.3.2.1.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 4.3.2.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 4.3.2.1.3.4.2

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 4.3.2.1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4.3.2.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 4.3.2.1.3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

خطوة 4.3.2.1.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

خطوة 4.3.2.1.3.8.2

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$x + 1 + x - 1$

خطوة 4.3.2.1.3.8.3

أضف $x$ و $x$ .

$2 x + 1 - 1$

خطوة 4.3.2.1.3.8.4

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.8.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$2 x + 0$

خطوة 4.3.2.1.3.8.4.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 4.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 4.3.5

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 4.3.6

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

وسّع $(y + 1) (y - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.1.4

اضرب $y$ في $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أضف $- y$ و $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.3

أضف $y^{2}$ و $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| y^{2} - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

وسّع $(x + 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.2.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.2.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x - 1 |) + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.2.2

أضف $- x$ و $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 0 - 1 |) + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.2.3

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.3

اجمع $\ln (| x^{2} - 1 |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C)$

خطوة 5.2.2.1.2

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 5.2.2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1

اجمع $C$ و $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

خطوة 5.2.2.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.2.1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2$

خطوة 5.2.2.1.4

انقُل $2$ إلى يسار $C$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} - 1 |) + 2 C$

خطوة 5.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y^{2} - 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |) = 2 C$

خطوة 5.4

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{2} - 1 | | x^{2} - 1 |) = 2 C$

خطوة 5.5

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| (y^{2} - 1) (x^{2} - 1) |) = 2 C$

خطوة 5.6

وسّع $(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1) |) = 2 C$

خطوة 5.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1) |) = 2 C$

خطوة 5.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

خطوة 5.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $y^{2}$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} - 1 \cdot y^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

خطوة 5.7.2

أعِد كتابة $- 1 y^{2}$ بالصيغة $- y^{2}$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

خطوة 5.7.3

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

خطوة 5.7.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |) = 2 C$

خطوة 5.8

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |)} = e^{2 C}$

خطوة 5.9

أعِد كتابة $\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |) = 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |$

خطوة 5.10

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 | = e^{2 C}$ .

$| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 | = e^{2 C}$

خطوة 5.10.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 = \pm e^{2 C}$

خطوة 5.10.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.3.1

أضف $x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$y^{2} x^{2} - y^{2} + 1 = \pm e^{2 C} + x^{2}$

خطوة 5.10.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} x^{2} - y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

خطوة 5.10.4

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} x^{2} - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.4.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} (x^{2}) - y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

خطوة 5.10.4.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- y^{2}$ .

$y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot - 1 = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

خطوة 5.10.4.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot - 1$ .

$y^{2} (x^{2} - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

خطوة 5.10.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y^{2} (x^{2} - 1^{2}) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

خطوة 5.10.6

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.6.1

$y^{2} ((x + 1) (x - 1)) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

خطوة 5.10.6.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

خطوة 5.10.7

اقسِم كل حد في $y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$ على $(x + 1) (x - 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.7.1

اقسِم كل حد في $y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$ على $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{y^{2} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 5.10.7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 5.10.7.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 5.10.7.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 5.10.7.2.2.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 5.10.7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.7.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 5.10.8

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

خطوة 5.10.9

بسّط $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.9.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

خطوة 5.10.9.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 1)}}$

خطوة 5.10.9.3

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 1)}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

خطوة 5.10.9.4

اضرب $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ في $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

خطوة 5.10.9.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.9.5.1

اضرب $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ في $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

خطوة 5.10.9.5.2

ارفع $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

خطوة 5.10.9.5.3

ارفع $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1}}$

خطوة 5.10.9.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}}$

خطوة 5.10.9.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

خطوة 5.10.9.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ بالصيغة $(x + 1) (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.9.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ في صورة ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.10.9.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.10.9.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.10.9.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.9.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.10.9.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{1}}$

خطوة 5.10.9.5.6.5

بسّط.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 5.10.9.6

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} + x^{2} - 1) (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C + x^{2} - 1) (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$