حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = e^{2 t}$

خطوة 1

أوجِد تكامل كلا الطرفين بالنسبة إلى $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

المشتق الأول يساوي تكامل المشتق الثاني بالنسبة إلى $t$ .

$\frac{d x}{d t} = \int e^{2 t} d t$

خطوة 1.2

لنفترض أن $u_{1} = 2 t$ . إذن $d u_{1} = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

افترض أن $u_{1} = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 1.2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 1.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\frac{d x}{d t} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 1.3

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

خطوة 1.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 1.5

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1})$

خطوة 1.6

بسّط.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1}$

خطوة 1.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 t$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة.

$d x = (\frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}) d t$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d x = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

خطوة 3.3.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

خطوة 3.3.3

لنفترض أن $u_{2} = 2 t$ . إذن $d u_{2} = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

افترض أن $u_{2} = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 3.3.3.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.3.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 3.3.3.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 3.3.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

خطوة 3.3.4

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

خطوة 3.3.5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d t$

خطوة 3.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

خطوة 3.3.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

خطوة 3.3.7

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d t$

خطوة 3.3.8

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + C_{1} t + C_{4}$

خطوة 3.3.9

بسّط.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C_{1} t + C_{5}$

خطوة 3.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 t$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{2 t} + C_{1} t + C_{5}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$x = \frac{1}{4} e^{2 t} + C t + D$