حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y}$

خطوة 1

افترض أن $V = \frac{x}{y}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - V$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ في $V = \frac{x}{y}$ .

$x = V y$

خطوة 3

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $x = V y$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\frac{d x}{d y}$ التي تساوي $y \frac{d V}{d y} + V$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = - V$

خطوة 5

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$y \frac{d V}{d y} = - V - V$

خطوة 5.1.1.1.2

اطرح $V$ من $- V$ .

$y \frac{d V}{d y} = - 2 V$

خطوة 5.1.1.2

اقسِم كل حد في $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ على $y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.1

اقسِم كل حد في $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ على $y$ .

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

خطوة 5.1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

خطوة 5.1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d y}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{- 2 V}{y}$

خطوة 5.1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d V}{d y} = - \frac{2 V}{y}$

خطوة 5.1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V} (- \frac{2 V}{y})$

خطوة 5.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

خطوة 5.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{V}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

خطوة 5.1.3.2.2

أخرِج العامل $V$ من $2 V$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

خطوة 5.1.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

خطوة 5.1.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{2}{y}$

خطوة 5.1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{V} d V = - \frac{2}{y} d y$

خطوة 5.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{V} d V = \int - \frac{2}{y} d y$

خطوة 5.2.2

تكامل $\frac{1}{V}$ بالنسبة إلى $V$ هو $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = \int - \frac{2}{y} d y$

خطوة 5.2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int \frac{2}{y} d y$

خطوة 5.2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| V |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{y} d y)$

خطوة 5.2.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 5.2.3.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 (\ln (| y |) + C_{2})$

خطوة 5.2.3.5

بسّط.

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \ln (| y |) + C_{2}$

خطوة 5.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| V |) = - 2 \ln (| y |) + C$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| V |) + 2 \ln (| y |) = C$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط $\ln (| V |) + 2 \ln (| y |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| V |) + \ln ({| y |}^{2}) = C$

خطوة 5.3.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| V |) + \ln (y^{2}) = C$

خطوة 5.3.2.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | y^{2}) = C$

خطوة 5.3.2.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (| V | y^{2})$ .

$\ln (y^{2} | V |) = C$

خطوة 5.3.3

لإيجاد قيمة $V$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y^{2} | V |)} = e^{C}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $\ln (y^{2} | V |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} | V |$

خطوة 5.3.5

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y^{2} | V | = e^{C}$ .

$y^{2} | V | = e^{C}$

خطوة 5.3.5.2

اقسِم كل حد في $y^{2} | V | = e^{C}$ على $y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.2.1

اقسِم كل حد في $y^{2} | V | = e^{C}$ على $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

خطوة 5.3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

خطوة 5.3.5.2.2.1.2

اقسِم $| V |$ على $1$ .

$| V | = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

خطوة 5.3.5.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$V = \pm \frac{e^{C}}{y^{2}}$

خطوة 5.4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط ثابت التكامل.

$V = \pm \frac{C}{y^{2}}$

خطوة 5.4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$V = C \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 6

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{x}{y}$ .

$\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 7

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

خطوة 7.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بسّط $C (\frac{1}{y^{2}}) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

اجمع $C$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x = \frac{C}{y^{2}} y$

خطوة 7.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

خطوة 7.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

خطوة 7.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{C}{y}$