حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{x y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{\ln (x)}{x}$ في $\frac{y^{2} + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{x y}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{y x}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{y x}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{x}$

خطوة 1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أخرِج العامل $y^{2} + 1$ من $\ln (x) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) \ln (x)}{x}$

خطوة 1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) \ln (x)}{x}$

خطوة 1.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = y^{2} + 1$ . إذن $d u_{1} = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = y^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 y + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $2 y$ و $0$ .

$2 y$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = \ln (x)$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.3.1.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln^{2} (x)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 C$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 C$

خطوة 3.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = \ln^{2} (x) + 2 C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y^{2} + 1 |)} = e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (| y^{2} + 1 |) = \ln^{2} (x) + 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\ln^{2} (x) + 2 C} = | y^{2} + 1 |$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y^{2} + 1 | = e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$

خطوة 3.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$

خطوة 3.5.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} = \pm e^{\ln^{2} (x) + 2 C} - 1$

خطوة 3.5.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{\ln^{2} (x) + 2 C} - 1}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{\ln^{2} (x) + C} - 1}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $e^{\ln^{2} (x) + C}$ بالصيغة $e^{\ln^{2} (x)} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{\ln^{2} (x)} e^{C} - 1}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{\ln^{2} (x)}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{\ln^{2} (x)} - 1}$

خطوة 4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \pm \sqrt{C e^{\ln^{2} (x)} - 1}$