حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} = \frac{2 x}{y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $\frac{2 x}{y}$ من كلا المتعادلين.

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} - \frac{2 x}{y} = 0$

خطوة 1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أضف $\frac{1}{y}$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{1}{y}$

خطوة 1.1.2.2

أضف $\frac{2 x}{y}$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$

خطوة 1.1.3

اقسِم كل حد في $2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اقسِم كل حد في $2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ على $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

خطوة 1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

خطوة 1.1.3.3.1.2

اضرب $\frac{1}{y}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y \cdot 2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

خطوة 1.1.3.3.1.3

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \cdot y} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

خطوة 1.1.3.3.1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 1.1.3.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 (x)}{y} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 1.1.3.3.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 1.1.3.3.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لكتابة $\frac{x}{y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 1.2.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $2 y$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب $\frac{x}{y}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{y \cdot 2}$

خطوة 1.2.2.2

أعِد ترتيب عوامل $y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{2 y}$

خطوة 1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x \cdot 2}{2 y}$

خطوة 1.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2 y}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{2 y}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{1 + 2 x}{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 1 + 2 x d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int d x + \int 2 x d x)$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int 2 x d x)$

خطوة 2.3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 \int x d x)$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}))$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = x + x^{2} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{x + x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + K}$