حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} + x^{2} + y^{2} + 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} y^{2} + x^{2}) + y^{2} + 1$

خطوة 1.1.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)$

خطوة 1.1.2

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $y^{2} + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) (x^{2} + 1)$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1))$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1))$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = (x^{2} + 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (\frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y = \tan (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$