حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ على $e^{5 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ على $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{5 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{e^{5 x}}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{7}{e^{5 x}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{e^{5 x}} d x$

خطوة 2.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اعكِس علامة أُس $e^{5 x}$ وأخرِجها من القاسم.

$y + C_{1} = 7 \int 1 {(e^{5 x})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{5 x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{5 x \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{- 5 x} d x$

خطوة 2.3.2.2.2

اضرب $e^{- 5 x}$ في $1$ .

$y + C_{1} = 7 \int e^{- 5 x} d x$

خطوة 2.3.3

لنفترض أن $u = - 5 x$ . إذن $d u = - 5 d x$ ، لذا $- \frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

افترض أن $u = - 5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أوجِد مشتقة $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

خطوة 2.3.3.1.2

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

خطوة 2.3.3.1.4

اضرب $- 5$ في $1$ .

$- 5$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

خطوة 2.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

خطوة 2.3.4.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = 7 \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 7 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

خطوة 2.3.6

اضرب $- 1$ في $7$ .

$y + C_{1} = - 7 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

خطوة 2.3.7

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - 7 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

خطوة 2.3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $- 7$ .

$y + C_{1} = \frac{- 7}{5} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.8.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} (e^{u} + C_{2})$

خطوة 2.3.10

بسّط.

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 5 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + K$