حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2 y$

خطوة 1

أضف $2 y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 2 x$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{2 x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (2 x)$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 x)$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 x e^{2 x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 2 x e^{2 x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 2 x e^{2 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{2 x} y = \int 2 x e^{2 x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 x} y = 2 \int x e^{2 x} d x$

خطوة 7.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 7.3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 7.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

خطوة 7.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

خطوة 7.5

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 7.5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 7.5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 7.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

خطوة 7.6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

خطوة 7.7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

خطوة 7.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

خطوة 7.8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

خطوة 7.9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

خطوة 7.10

أعِد كتابة $2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

خطوة 7.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

خطوة 7.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

خطوة 7.12.1.2

اجمع $\frac{x}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

خطوة 7.12.1.3

اجمع $e^{2 x}$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.12.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.12.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

خطوة 7.12.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{2 x}}{4}$ إلى بسط الكسر.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

خطوة 7.12.4.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 (2)} + C$

خطوة 7.12.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 7.12.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + \frac{- e^{2 x}}{2} + C$

خطوة 7.12.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

خطوة 7.12.6

لكتابة $x e^{2 x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

خطوة 7.12.7

اجمع $x e^{2 x}$ و $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

خطوة 7.12.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

خطوة 7.12.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.9.1

انقُل $2$ إلى يسار $x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C$

خطوة 7.12.9.2

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.9.2.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $2 x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C$

خطوة 7.12.9.2.2

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $- e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

خطوة 7.12.9.2.3

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C$

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ على $e^{2 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ على $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.4

أعِد كتابة $- 1 e^{2 x}$ بالصيغة $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 e^{2 x} x$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{e^{2 x} x + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.8

جمّع $e^{2 x} x$ و $- \frac{e^{2 x}}{2}$ باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.8.1

أعِد ترتيب $e^{2 x}$ و $x$ .

$y = \frac{x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.8.2

لكتابة $x e^{2 x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.8.3

اجمع $x e^{2 x}$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.8.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.9.1

انقُل $2$ إلى يسار $x e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.9.2

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.9.2.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $2 x e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.9.2.2

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2.9.2.3

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.3

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.1

اجمع $C$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.5.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.5.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.5.4

أعِد كتابة $- 1 e^{2 x}$ بالصيغة $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.5.5

انقُل $2$ إلى يسار $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.6

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.8

اضرب $\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}$ في $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2 e^{2 x}}$