حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

خطوة 1

اكتب المسألة في صورة عبارة رياضية.

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

خطوة 2.2

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 6 x^{2} + y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} + y^{3}]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{2} + y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.3.3

اضرب $2$ في $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + 0$

خطوة 3.4.2

أضف $12 x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $2 x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $12 x$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 12 x$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 x = 12 x$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $12 x$ .

$\frac{12 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 x$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{M}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x y$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{2 x y}$

خطوة 5.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $12 x - 1 \cdot 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $12 x$ .

$\frac{x \cdot 12 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

خطوة 5.3.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

خطوة 5.3.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (12 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

خطوة 5.3.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{x (12 - 2)}{2 x y}$

خطوة 5.3.2.3

اطرح $2$ من $12$ .

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

خطوة 5.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

خطوة 5.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{10}{2 y}$

خطوة 5.3.4

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

خطوة 5.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (y)}$

خطوة 5.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

خطوة 5.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5}{y}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{5}{y} d y}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{5}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{5 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 6.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{5 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 6.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{5 \ln (| y |)} + C$

خطوة 6.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط $5 \ln (| y |)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{5})} + C$

خطوة 6.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{5} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$ في عامل التكامل $y^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $2 x y$ في $y^{5}$ .

$2 x y \cdot y^{5} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

خطوة 7.2

اضرب $y$ في $y^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

انقُل $y^{5}$ .

$2 x (y^{5} y) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

خطوة 7.2.2

اضرب $y^{5}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$2 x (y^{5} y^{1}) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

خطوة 7.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x y^{5 + 1} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

خطوة 7.2.3

أضف $5$ و $1$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $6 x^{2} + y^{3}$ في $y^{5}$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) y^{5} d y = 0$

خطوة 7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3} y^{5}) d y = 0$

خطوة 7.5

اضرب $y^{3}$ في $y^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3 + 5}) d y = 0$

خطوة 7.5.2

أضف $3$ و $5$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{8}) d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y^{6} d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 2 x y^{6}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $2 y^{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2 y^{6}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 2 y^{6} \int x d x$

خطوة 9.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 9.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أعِد كتابة $2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 9.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{6} \frac{2}{2} x^{2} + C$

خطوة 9.3.2.2

اجمع $y^{6}$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{6} \cdot 2}{2} x^{2} + C$

خطوة 9.3.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{6}}{2} x^{2} + C$

خطوة 9.3.2.4

اضرب $2$ في $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

خطوة 9.3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

خطوة 9.3.2.5.2

اقسِم $y^{6}$ على $1$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{6} x^{2} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y^{6} x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

خطوة 12.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$x^{2} (6 y^{5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

خطوة 12.3.3

انقُل $6$ إلى يسار $x^{2}$ .

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

خطوة 12.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + 6 y^{5} x^{2} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اطرح $6 y^{5} x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

خطوة 13.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $6 x^{2} y^{5}$ و $- 6 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 y^{5} x^{2} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

خطوة 13.1.2.2

اطرح $6 y^{5} x^{2}$ من $6 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8} + 0$

خطوة 13.1.2.3

أضف $y^{8}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8}$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $y^{8}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = y^{8}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{8} d y$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{8} d y$

خطوة 14.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{8}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{9} y^{9}$ .

$g (y) = \frac{1}{9} y^{9} + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{1}{9} y^{9} + C$

خطوة 16

اجمع $\frac{1}{9}$ و $y^{9}$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{y^{9}}{9} + C$