حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x y^{2} + 1) d x + (2 x^{2} y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + 1]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y^{2} + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $4 x y$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 2 x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

خطوة 2.2

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (2 x)$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب عوامل $4 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $4 x y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $4 x y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x y = 4 x y$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$4 x y = 4 x y$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = 2 x^{2} y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $2 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2 x^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 2 x^{2} \int y d y$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 5.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة $2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.3.2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 2}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.3.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot x^{2}}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.3.2.4

اضرب $2$ في $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.3.2.5.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{2} + 1$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

خطوة 8.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{2} + 1$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x = 2 x y^{2} + 1$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $2 y^{2} x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{2} + 1 - 2 y^{2} x$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x y^{2} + 1 - 2 y^{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $2 x y^{2}$ و $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 1 - 2 y^{2} x$

خطوة 9.1.2.2

اطرح $2 y^{2} x$ من $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + 1$

خطوة 9.1.2.3

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $1$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

خطوة 10.3

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = x + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x + C$