حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2} y}$

خطوة 1.2.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{2}}{y^{2} y}$

خطوة 1.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 2}}{y^{2} y}$

خطوة 1.2.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2} y}$

خطوة 1.2.3

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2} y^{1}}$

خطوة 1.2.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2 + 1}}$

خطوة 1.2.3.2

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{3}}$

خطوة 1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{3}}$

خطوة 1.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y}{y^{2}} d y = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{y^{2}} d y = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{y^{1}}{y^{2}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\int \frac{y \cdot 1}{y^{2}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{y} d y = \int d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = x + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{x + C}$ .

$| y | = e^{x + C}$

خطوة 3.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{x + C}$ بالصيغة $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{x}$