حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 (y d) x = (1 + x) d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$(1 + x) d y = 2 y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $1 + x$ من $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{(1 + x) (y)} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} d y = 2 \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

خطوة 3.3

اجمع $2$ و $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{(1 + x) y} y d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $y$ من $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x)} y d x$

خطوة 3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x)} y d x$

خطوة 3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{1 + x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{1 + x} d x$

خطوة 4.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{1 + x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + x} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u = 1 + x$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u = 1 + x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 4.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.2.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 4.3.2.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 4.3.4

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 4.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| 1 + x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| 1 + x |) = C$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $\ln (| y |) - 2 \ln (| 1 + x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

بسّط $- 2 \ln (| 1 + x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y |) - \ln ({| 1 + x |}^{2}) = C$

خطوة 5.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| 1 + x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| y |) - \ln ({(1 + x)}^{2}) = C$

خطوة 5.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}) = C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}})} = e^{C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$

خطوة 5.5.2

اضرب كلا الطرفين في ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(1 + x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

خطوة 5.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

خطوة 5.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

بسّط $e^{C} {(1 + x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1.1

أعِد كتابة ${(1 + x)}^{2}$ بالصيغة $(1 + x) (1 + x)$ .

$| y | = e^{C} ((1 + x) (1 + x))$

خطوة 5.5.4.1.2

وسّع $(1 + x) (1 + x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$| y | = e^{C} (1 (1 + x) + x (1 + x))$

خطوة 5.5.4.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$| y | = e^{C} (1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x))$

خطوة 5.5.4.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$| y | = e^{C} (1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

خطوة 5.5.4.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1.3.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

خطوة 5.5.4.1.3.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

خطوة 5.5.4.1.3.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x + x \cdot x)$

خطوة 5.5.4.1.3.1.4

اضرب $x$ في $x$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x + x^{2})$

خطوة 5.5.4.1.3.2

أضف $x$ و $x$ .

$| y | = e^{C} (1 + 2 x + x^{2})$

خطوة 5.5.4.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$| y | = e^{C} \cdot 1 + e^{C} (2 x) + e^{C} x^{2}$

خطوة 5.5.4.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1.5.1

اضرب $e^{C}$ في $1$ .

$| y | = e^{C} + e^{C} (2 x) + e^{C} x^{2}$

خطوة 5.5.4.1.5.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$| y | = e^{C} + 2 e^{C} x + e^{C} x^{2}$

خطوة 5.5.4.1.6

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} + 2 e^{C} x + e^{C} x^{2}$ .

$| y | = e^{C} + 2 x e^{C} + x^{2} e^{C}$

خطوة 5.5.4.1.7

انقُل $e^{C}$ .

$| y | = 2 x e^{C} + x^{2} e^{C} + e^{C}$

خطوة 5.5.4.1.8

أعِد ترتيب $2 x e^{C}$ و $x^{2} e^{C}$ .

$| y | = x^{2} e^{C} + 2 x e^{C} + e^{C}$

خطوة 5.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 2 x e^{C} + e^{C})$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm (x^{2} C + 2 x C + C)$