حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y (2 x - y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x - y)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = 2 x - y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x - y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 1 \cdot 1) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 1 + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.6.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \cdot 1$

خطوة 1.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1

اضرب $2 x - y$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + 2 x - y$

خطوة 1.3.8.2

اطرح $y$ من $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - (x^{2} + y^{2} + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + y^{2} + 1)]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.5

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.6

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

خطوة 2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x - 2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2 x$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x - 2 y = - 2 x$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 x - 2 y = - 2 x$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 2 x$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 x - 2 y$ .

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y (2 x - y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y (2 x - y)$ .

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{y (2 x - y)}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 x - (2 x) - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

خطوة 4.3.2.5

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 y}{y (2 x - y)}$

خطوة 4.3.2.5.2

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (y)}{y (2 x - y)}$

خطوة 4.3.2.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 2 x) + 2 (y)$ .

$\frac{2 (- 2 x + y)}{y (2 x - y)}$

خطوة 4.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2 x + y$ و $2 x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (2 x) + y)}{y (2 x - y)}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $y$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (- y))}{y (2 x - y)}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$\frac{2 (- (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

خطوة 4.3.3.4

أعِد كتابة $- (2 x - y)$ بالصيغة $- 1 (2 x - y)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

خطوة 4.3.3.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

خطوة 4.3.3.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

خطوة 4.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

خطوة 4.3.5

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y (2 x - y)$ .

$- \frac{2}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| y |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y (2 x - y)$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (2 x - y) \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

خطوة 6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

خطوة 6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$(2 x - y) \frac{1}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $2 x - y$ في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.7

اضرب $- x^{2} - y^{2} - 1$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- y^{2}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - (y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.11

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.13

أعِد كتابة $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2 x - y}{y} d x - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x - y}{y} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{2 x - y}{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} + \frac{- y}{y} d x$

خطوة 8.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

خطوة 8.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

خطوة 8.3.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int - 1 d x$

خطوة 8.4

بما أن $\frac{2}{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{y}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x + \int - 1 d x$

خطوة 8.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

خطوة 8.6

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

خطوة 8.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

خطوة 8.8

بسّط.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y \cdot 2} - x + C$

خطوة 8.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.9.1

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 \cdot y} - x + C$

خطوة 8.9.2

اضرب $2$ في $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

خطوة 8.9.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.9.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

خطوة 8.9.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2}}{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y}$ بالصيغة $y^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

خطوة 11.4

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

خطوة 11.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

خطوة 11.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.2.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

خطوة 11.6.2.2

أضف $- \frac{x^{2}}{y^{2}}$ و $0$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

خطوة 11.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

أضف $\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3

أضف $- x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4

أضف $0$ و $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5

لكتابة $\frac{d g}{d y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1 = 0$

خطوة 12.1.3

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + 1 = - y^{2}$

خطوة 12.1.3.1.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$

خطوة 12.1.3.2

اقسِم كل حد في $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ على $y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.1

اقسِم كل حد في $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ على $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

خطوة 12.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

خطوة 12.1.3.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d g}{d y}$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

خطوة 12.1.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

خطوة 12.1.3.2.3.1.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1 + \frac{- 1}{y^{2}}$

خطوة 12.1.3.2.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- 1 - \frac{1}{y^{2}}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

خطوة 13.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (y) = \int - 1 d y + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

خطوة 13.4

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = - y + C + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

خطوة 13.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - y + C - \int \frac{1}{y^{2}} d y$

خطوة 13.6

انقُل $y^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$g (y) = - y + C - \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

خطوة 13.7

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.7.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - y + C - \int y^{2 \cdot - 1} d y$

خطوة 13.7.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$g (y) = - y + C - \int y^{- 2} d y$

خطوة 13.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - y + C - (- y^{- 1} + C)$

خطوة 13.9

بسّط.

$g (y) = - y - - \frac{1}{y} + C$

خطوة 13.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.10.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$g (y) = - y + 1 \frac{1}{y} + C$

خطوة 13.10.2

اضرب $\frac{1}{y}$ في $1$ .

$g (y) = - y + \frac{1}{y} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x - y + \frac{1}{y} + C$