حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 4 y + x$

خطوة 1

اطرح $4 y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} - 4 y = x$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 4 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- 4 x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 4 x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- 4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 y) = e^{- 4 x} x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} x$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} x$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 y e^{- 4 x} = x e^{- 4 x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] = x e^{- 4 x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] d x = \int x e^{- 4 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- 4 x} y = \int x e^{- 4 x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} y = x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $e^{- 4 x}$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

خطوة 7.2.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

خطوة 7.3

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- \frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - (- \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

خطوة 7.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

خطوة 7.4.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x$

خطوة 7.5

لنفترض أن $u = - 4 x$ . إذن $d u = - 4 d x$ ، لذا $- \frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

افترض أن $u = - 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

أوجِد مشتقة $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 7.5.1.2

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

خطوة 7.5.1.4

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 4$

خطوة 7.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

خطوة 7.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

خطوة 7.6.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

خطوة 7.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

خطوة 7.8

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

خطوة 7.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u$

خطوة 7.9.2

اضرب $4$ في $4$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u$

خطوة 7.10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$

خطوة 7.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.11.1

أعِد كتابة $- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

خطوة 7.11.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.11.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

خطوة 7.11.2.2

اجمع $e^{- 4 x}$ و $\frac{x}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

خطوة 7.12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

خطوة 7.13

اجمع $e^{- 4 x}$ و $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$

خطوة 7.14

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اجمع $e^{- 4 x}$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x}}{4} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

خطوة 8.1.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

خطوة 8.1.3

اجمع $e^{- 4 x}$ و $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$

خطوة 8.2

اقسِم كل حد في $e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$ على $e^{- 4 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اقسِم كل حد في $e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$ على $e^{- 4 x}$ .

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 8.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 8.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 8.2.3.1.2

اضرب $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ في $\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ .

$y = - \frac{x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 4} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 8.2.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 4} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 8.2.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 8.2.3.1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 8.2.3.1.5

اضرب $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ في $\frac{e^{- 4 x}}{16}$ .

$y = - \frac{x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 8.2.3.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

خطوة 8.2.3.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{16} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$