حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4} y - 4 x^{3} y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x^{3} y$ من $5 x^{4} y - 4 x^{3} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x^{3} y$ من $5 x^{4} y$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{3} y (5 x) - 4 x^{3} y$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $x^{3} y$ من $- 4 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{3} y (5 x) + x^{3} y (- 4)$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $x^{3} y$ من $x^{3} y (5 x) + x^{3} y (- 4)$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{3} y (5 x - 4)$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x^{3} y (5 x - 4))$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{3} y (5 x - 4)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{3} (5 x - 4)))$

خطوة 1.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{3} (5 x - 4)))$

خطوة 1.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{3} (5 x - 4)$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot - 4$

خطوة 1.3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} x + x^{3} \cdot - 4$

خطوة 1.3.4

انقُل $- 4$ إلى يسار $x^{3}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} x - 4 \cdot x^{3}$

خطوة 1.3.5

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

انقُل $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 (x \cdot x^{3}) - 4 \cdot x^{3}$

خطوة 1.3.5.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 (x^{1} x^{3}) - 4 \cdot x^{3}$

خطوة 1.3.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{1 + 3} - 4 \cdot x^{3}$

خطوة 1.3.5.3

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{4} - 4 \cdot x^{3}$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{4} - 4 x^{3}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = (5 x^{4} - 4 x^{3}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 5 x^{4} - 4 x^{3} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 x^{4} - 4 x^{3} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \int x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5}) x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

اجمع $5$ و $\frac{1}{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.3

اضرب $x^{5}$ في $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.4

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{- 4}{4} x^{4} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.5.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4} x^{4} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.5.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} x^{4} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} x^{4} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{- 1}{1} x^{4} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.5.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} - x^{4} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = x^{5} - x^{4} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{5} - x^{4} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = x^{5} - x^{4} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x^{5} - x^{4} + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{x^{5} - x^{4} + C}$ .

$| y | = e^{x^{5} - x^{4} + C}$

خطوة 3.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{5} - x^{4} + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{x^{5} - x^{4} + C}$ بالصيغة $e^{x^{5} - x^{4}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{5} - x^{4}} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{x^{5} - x^{4}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{5} - x^{4}}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{x^{5} - x^{4}}$