حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \sqrt{y^{2} - 2} d x + y \sqrt{x^{2} - 2} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $x \sqrt{y^{2} - 2} d x$ من كلا المتعادلين.

$y \sqrt{x^{2} - 2} d y = - x \sqrt{y^{2} - 2} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ في $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ في $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.2.2

ارفع $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.2.3

ارفع $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} {\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1 + 1}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ في صورة ${((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{({((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{1}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.2.6.5

بسّط.

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.3

اضرب $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (y \sqrt{x^{2} - 2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اجمع $y$ و $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ .

$\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{x^{2} - 2} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ و $\sqrt{x^{2} - 2}$ .

$\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{x^{2} - 2}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.3.3

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) ((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.3.4

ارفع $x^{2} - 2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{1} (x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.3.5

ارفع $x^{2} - 2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{1} {(x^{2} - 2)}^{1} (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.3.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{1 + 1} (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.3.7

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{2} (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{y ((x^{2} - 2) \sqrt{y^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y (x^{2} \sqrt{y^{2} - 2} - 2 \sqrt{y^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $\sqrt{y^{2} - 2}$ من $x^{2} \sqrt{y^{2} - 2} - 2 \sqrt{y^{2} - 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

أخرِج العامل $\sqrt{y^{2} - 2}$ من $x^{2} \sqrt{y^{2} - 2}$ .

$\frac{y (\sqrt{y^{2} - 2} x^{2} - 2 \sqrt{y^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.4.3.2

أخرِج العامل $\sqrt{y^{2} - 2}$ من $- 2 \sqrt{y^{2} - 2}$ .

$\frac{y (\sqrt{y^{2} - 2} x^{2} + \sqrt{y^{2} - 2} \cdot - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.4.3.3

أخرِج العامل $\sqrt{y^{2} - 2}$ من $\sqrt{y^{2} - 2} x^{2} + \sqrt{y^{2} - 2} \cdot - 2$ .

$\frac{y (\sqrt{y^{2} - 2} (x^{2} - 2))}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2} (x^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2} (x^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.7

اضرب $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ في $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - (\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}) (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.8

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ في $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.8.2

ارفع $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.8.3

ارفع $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} {\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.8.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.8.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.8.6

أعِد كتابة ${\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ في صورة ${((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{({((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.8.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.8.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.8.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.8.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{1}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.8.6.5

بسّط.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

خطوة 3.9

اضرب $- \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (x \sqrt{y^{2} - 2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

اجمع $x$ و $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{y^{2} - 2} d x$

خطوة 3.9.2

اجمع $\sqrt{y^{2} - 2}$ و $\frac{x \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{y^{2} - 2} (x \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

خطوة 3.9.3

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{(y^{2} - 2) ((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

خطوة 3.9.4

ارفع $y^{2} - 2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{1} (y^{2} - 2) (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

خطوة 3.9.5

ارفع $y^{2} - 2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{1} {(y^{2} - 2)}^{1} (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

خطوة 3.9.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{1 + 1} (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

خطوة 3.9.7

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{2} (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

خطوة 3.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x ((y^{2} - 2) \sqrt{x^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

خطوة 3.10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (y^{2} \sqrt{x^{2} - 2} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

خطوة 3.10.3

أخرِج العامل $\sqrt{x^{2} - 2}$ من $y^{2} \sqrt{x^{2} - 2} - 2 \sqrt{x^{2} - 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.3.1

أخرِج العامل $\sqrt{x^{2} - 2}$ من $y^{2} \sqrt{x^{2} - 2}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (\sqrt{x^{2} - 2} y^{2} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

خطوة 3.10.3.2

أخرِج العامل $\sqrt{x^{2} - 2}$ من $- 2 \sqrt{x^{2} - 2}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (\sqrt{x^{2} - 2} y^{2} + \sqrt{x^{2} - 2} \cdot - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

خطوة 3.10.3.3

أخرِج العامل $\sqrt{x^{2} - 2}$ من $\sqrt{x^{2} - 2} y^{2} + \sqrt{x^{2} - 2} \cdot - 2$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (\sqrt{x^{2} - 2} (y^{2} - 2))}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2} (y^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

خطوة 3.11

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2} (y^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

خطوة 3.11.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u_{1} = y^{2} - 2$ . إذن $d u_{1} = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u_{1} = y^{2} - 2$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 2]$

خطوة 4.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 4.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 4.2.1.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 y + 0$

خطوة 4.2.1.1.5

أضف $2 y$ و $0$ .

$2 y$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $\frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.1

انقُل ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1} \cdot {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.4.2.2

اضرب $u_{1}$ في ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.2.1

اضرب $u_{1}$ في ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.2.1.1

ارفع $u_{1}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.4.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.4.2.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.4.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.4.2.2.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.4.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.3.1

انقُل ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.4.3.2

اضرب الأُسس في ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.4.3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.4.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.6.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.6.2.3

اضرب ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y^{2} - 2$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u_{2} = x^{2} - 2$ . إذن $d u_{2} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u_{2} = x^{2} - 2$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

خطوة 4.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 4.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 4.3.2.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 4.3.2.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 4.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 4.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{2}}$ في صورة ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.1

انقُل ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 4.3.5.2.2

اضرب $u_{2}$ في ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.2.1

اضرب $u_{2}$ في ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.2.1.1

ارفع $u_{2}$ إلى القوة $1$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 4.3.5.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 4.3.5.2.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 4.3.5.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 4.3.5.2.2.4

اطرح $1$ من $2$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 4.3.5.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.3.1

انقُل ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 4.3.5.3.2

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 4.3.5.3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.5.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

خطوة 4.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $- \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7.2.3.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} - 2$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} = - {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + K$