حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(3 x - 2 y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 3 x - 2 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x - 2 y^{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 2 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

خطوة 1.2.2

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 (2 y)$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 4 y$

خطوة 1.4

اطرح $4 y$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

خطوة 2.2

بما أن $- 2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 4 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 y = - 2 y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- 4 y = - 2 y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- 4 y$ .

$\frac{- 4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 2 y$ .

$\frac{- 4 y - (- 2 y)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- 2 x y$ .

$\frac{- 4 y - (- 2 y)}{- 2 x y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- 4 y - (- 2 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $- 4 y$ .

$\frac{y \cdot - 4 - (- 2 y)}{- 2 x y}$

خطوة 4.3.2.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- (- 2 y)$ .

$\frac{y \cdot - 4 + y (- (- 2))}{- 2 x y}$

خطوة 4.3.2.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot - 4 + y (- (- 2))$ .

$\frac{y (- 4 - (- 2))}{- 2 x y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{y (- 4 + 2)}{- 2 x y}$

خطوة 4.3.2.3

أضف $- 4$ و $2$ .

$\frac{y \cdot - 2}{- 2 x y}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \cdot - 2}{- 2 x y}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{- 2 x}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2}{- 2 x}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

خطوة 5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

خطوة 5.2.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = | x | + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(3 x - 2 y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$ في عامل التكامل $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $3 x - 2 y^{2}$ في $x$ .

$(3 x - 2 y^{2}) x d x - 2 x y d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x \cdot x - 2 y^{2} x) d x - 2 x y d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل $x$ .

$(3 (x \cdot x) - 2 y^{2} x) d x - 2 x y d y = 0$

خطوة 6.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 x y d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $- 2 x y$ في $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 x y x d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

انقُل $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 (x \cdot x) y d y = 0$

خطوة 6.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 x^{2} y d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 2 x^{2} y d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - 2 x^{2} y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $- 2 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 2 x^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - 2 x^{2} \int y d y$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 8.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $- 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $- 2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - 2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{- 2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{- 2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x^{2})}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x^{2})}{2 (1)} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{2 (- x^{2})}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{- x^{2}}{1} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.4.2.4

اقسِم $- x^{2}$ على $1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - x^{2} y^{2} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{2} y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $- y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

خطوة 11.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y^{2} x + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - 2 y^{2} x = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أضف $2 y^{2} x$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y^{2} x + 2 y^{2} x$

خطوة 12.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x^{2} - 2 y^{2} x + 2 y^{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

أضف $- 2 y^{2} x$ و $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

خطوة 12.1.2.2

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $3 x^{2}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

خطوة 13.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

خطوة 13.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

خطوة 13.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ بالصيغة $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

خطوة 13.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

خطوة 13.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

خطوة 13.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

خطوة 13.5.2.3

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - x^{2} y^{2} + x^{3} + C$