حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{y^{2} - 2} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اجمع $\frac{x^{2}}{y^{2} - 2}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2} - 2} = \frac{1}{2 y}$

خطوة 1.1.2

اضرب بسط الكسر الأول في قاسم الكسر الثاني. وعيّن قيمة الناتج بحيث تساوي حاصل ضرب قاسم الكسر الأول في بسط الكسر الثاني.

$x^{2} \frac{d y}{d x} (2 y) = (y^{2} - 2) \cdot 1$

خطوة 1.1.3

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

احذِف الأقواس.

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = (y^{2} - 2) \cdot 1$

خطوة 1.1.3.1.2

اضرب $y^{2} - 2$ في $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = y^{2} - 2$

خطوة 1.1.3.2

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ على $x^{2} \cdot 2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ على $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

خطوة 1.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

خطوة 1.1.3.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

خطوة 1.1.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

خطوة 1.1.3.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

خطوة 1.1.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

خطوة 1.1.3.2.2.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

خطوة 1.1.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.3.1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

خطوة 1.1.3.2.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

خطوة 1.1.3.2.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

خطوة 1.1.3.2.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} \cdot 2} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

خطوة 1.1.3.2.3.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

خطوة 1.1.3.2.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.3.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{2} \cdot 2 y}$

خطوة 1.1.3.2.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.3.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

خطوة 1.1.3.2.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

خطوة 1.1.3.2.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2} y}$

خطوة 1.1.3.2.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} - \frac{1}{x^{2} y}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لكتابة $\frac{y}{2 x^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y}$

خطوة 1.2.2

لكتابة $- \frac{1}{x^{2} y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 1.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $2 y x^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب $\frac{y}{2 x^{2}}$ في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 1.2.3.2

اضرب $\frac{1}{x^{2} y}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{x^{2} y \cdot 2}$

خطوة 1.2.3.3

أعِد ترتيب عوامل $x^{2} y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{2 x^{2} y}$

خطوة 1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 2}{2 x^{2} y}$

خطوة 1.2.5

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 x^{2} y}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{2 y}{y^{2} - 2}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} (\frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $\frac{y^{2} - 2}{2 y}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $2 y$ من $2 y x^{2}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y (x^{2})}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

خطوة 1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

خطوة 1.5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = y^{2} - 2$ . إذن $d u = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u = y^{2} - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $y^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 2]$

خطوة 2.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 2.2.2.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 y + 0$

خطوة 2.2.2.1.5

أضف $2 y$ و $0$ .

$2 y$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.5.3

اضرب $\int \frac{1}{u} d u$ في $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{2} - 2$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $- x^{- 1} + C_{2}$ بالصيغة $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y^{2} - 2 |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y^{2} - 2 |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

خطوة 3.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 2 = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

خطوة 3.3.3

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y^{2} = \pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2$

خطوة 3.3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{- \frac{1}{x} + C}$ بالصيغة $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C} + 2}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{- \frac{1}{x}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}} + 2}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \pm \sqrt{C e^{- \frac{1}{x}} + 2}$