حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \sqrt{x - 5}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = x^{2} \sqrt{x - 5} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x^{2} \sqrt{x - 5} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int x^{2} \sqrt{x - 5} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = \sqrt{x - 5}$ .

$y + C_{1} = x^{2} (\frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = x^{2} \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

خطوة 2.3.2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{2}{3} \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{3} \cdot 2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

خطوة 2.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

خطوة 2.3.5

لنفترض أن $u = x - 5$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

افترض أن $u = x - 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

خطوة 2.3.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.3.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.3.5.1.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u + 5) d u$

خطوة 2.3.6

وسّع $u^{\frac{3}{2}} (u + 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d u$

خطوة 2.3.6.2

أعِد ترتيب $u^{\frac{3}{2}}$ و $5$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + 5 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 2.3.6.3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} + 5 u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 2.3.6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} + 5 u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 2.3.6.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 2.3.6.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 2.3.6.7

أضف $3$ و $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 2.3.6.8

أعِد ترتيب $u^{\frac{5}{2}}$ و $5 u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int 5 u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{5}{2}} d u$

خطوة 2.3.7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int 5 u^{\frac{3}{2}} d u + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

خطوة 2.3.8

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (5 \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

خطوة 2.3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}) + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

خطوة 2.3.10

اجمع $\frac{2}{5}$ و $u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

خطوة 2.3.11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{5}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C_{3})$

خطوة 2.3.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.12.1

اجمع $\frac{2}{7}$ و $u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C_{3})$

خطوة 2.3.12.2

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.12.3.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2}}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.2

اجمع $\frac{2 x^{2}}{3}$ و ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.3

اجمع $5$ و $\frac{2}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{5 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.4

اضرب $5$ في $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{10}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.12.3.5.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{5 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.12.3.5.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{1} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.5.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.6

لكتابة $- \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.7

اجمع $- \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})$ و $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.9

اجمع $\frac{2}{7}$ و $u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.10

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.11

اجمع $- 3$ و $\frac{4}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.12

اضرب $- 3$ في $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.13

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.12.3.13.1

أخرِج العامل $3$ من $- 12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.12.3.13.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.12.3.13.2.4

اقسِم $- 4$ على $1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 5$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.14

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {(x - 5)}^{\frac{7}{2}})) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {(x - 5)}^{\frac{7}{2}})) + K$