حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{t}{5} \cdot \frac{d y}{d t} = (y - 3)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اجمع $\frac{t}{5}$ و $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = y - 3$

خطوة 1.1.2

اضرب كلا المتعادلين في $5$ .

$5 \frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = 5 (y - 3)$

خطوة 1.1.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 \frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = 5 (y - 3)$

خطوة 1.1.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$t \frac{d y}{d t} = 5 (y - 3)$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

بسّط $5 (y - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$t \frac{d y}{d t} = 5 y + 5 \cdot - 3$

خطوة 1.1.3.2.1.2

اضرب $5$ في $- 3$ .

$t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$

خطوة 1.1.4

اقسِم كل حد في $t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$ على $t$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اقسِم كل حد في $t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$ على $t$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d t}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

خطوة 1.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y}{t} - \frac{15}{t}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y - 15}{t}$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $5$ من $5 y - 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 (y) - 15}{t}$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $5$ من $- 15$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y + 5 \cdot - 3}{t}$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل $5$ من $5 y + 5 \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 (y - 3)}{t}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y - 3}$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{5 (y - 3)}{t}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $y - 3$ من $5 (y - 3)$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{(y - 3) \cdot 5}{t}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{(y - 3) \cdot 5}{t}$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{5}{t}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y - 3} d y = \frac{5}{t} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int \frac{5}{t} d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = y - 3$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = y - 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 3$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{5}{t} d t$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y - 3$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 (\ln (| t |) + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 \ln (| t |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y - 3 |) = 5 \ln (| t |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y - 3 |) - 5 \ln (| t |) = C$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $\ln (| y - 3 |) - 5 \ln (| t |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $- 5 \ln (| t |)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y - 3 |) - \ln ({| t |}^{5}) = C$

خطوة 3.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}) = C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}})} = e^{C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$

خطوة 3.5.2

اضرب كلا الطرفين في ${| t |}^{5}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| t |}^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

خطوة 3.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y - 3 | = e^{C} {| t |}^{5}$

خطوة 3.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} {| t |}^{5}$ .

$| y - 3 | = {| t |}^{5} e^{C}$

خطوة 3.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y - 3 = \pm {| t |}^{5} e^{C}$

خطوة 3.5.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $\pm {| t |}^{5} e^{C}$ .

$y - 3 = \pm e^{C} {| t |}^{5}$

خطوة 3.5.4.4

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \pm e^{C} {| t |}^{5} + 3$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm C {| t |}^{5} + 3$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C {| t |}^{5} + 3$