حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 y^{2} + 2}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $12 y^{2} + 2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{12 y^{2} + 2}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $12 y^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $12 y^{2}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2}) + 2}$

خطوة 1.2.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2}) + 2 (1)}$

خطوة 1.2.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (6 y^{2}) + 2 (1)$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2} + 1)}$

خطوة 1.2.2

اضرب $12 y^{2} + 2$ في $\frac{1}{2 (6 y^{2} + 1)}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{12 y^{2} + 2}{2 (6 y^{2} + 1)}$

خطوة 1.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $12 y^{2} + 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $12 y^{2}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2}) + 2}{2 (6 y^{2} + 1)}$

خطوة 1.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2}) + 2 \cdot 1}{2 (6 y^{2} + 1)}$

خطوة 1.2.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (6 y^{2}) + 2 (1)$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2} + 1)}{2 (6 y^{2} + 1)}$

خطوة 1.2.3.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2} + 1)}{2 (6 y^{2} + 1)}$

خطوة 1.2.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2} + 1}{6 y^{2} + 1}$

خطوة 1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $6 y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2} + 1}{6 y^{2} + 1}$

خطوة 1.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(12 y^{2} + 2) d y = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 12 y^{2} + 2 d y = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 12 y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

خطوة 2.2.2

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$12 \int y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int 2 d y = \int d x$

خطوة 2.2.4

طبّق قاعدة الثابت.

$12 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$12 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

خطوة 2.2.5.2

بسّط.

$4 y^{3} + 2 y + C_{3} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$4 y^{3} + 2 y + C_{3} = x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$4 y^{3} + 2 y = x + K$