حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2}$ , $y (1) = 5$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = x^{5} - 5$ . إذن $d u = 5 x^{4} d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = x^{5} - 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{5} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 5]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{5} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.3.1.1.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 x^{4} + 0$

خطوة 2.3.1.1.5

أضف $5 x^{4}$ و $0$ .

$5 x^{4}$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{2} \frac{1}{5} d u$

خطوة 2.3.2

اجمع $u^{2}$ و $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{2}}{5} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{2} d u$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أعِد كتابة $\frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5 \cdot 3} u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2

اضرب $5$ في $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{5} - 5$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $5$ عن $y$ في $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ .

$5 = \frac{1}{15} {(1^{5} - 5)}^{3} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{15} \cdot {(1 - 5)}^{3} + K = 5$

خطوة 4.2.2

اطرح $5$ من $1$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(- 4)}^{3} + K = 5$

خطوة 4.2.3

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{15} \cdot - 64 + K = 5$

خطوة 4.2.4

اجمع $\frac{1}{15}$ و $- 64$ .

$\frac{- 64}{15} + K = 5$

خطوة 4.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{64}{15} + K = 5$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $\frac{64}{15}$ إلى كلا المتعادلين.

$K = 5 + \frac{64}{15}$

خطوة 4.3.2

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{15}{15}$ .

$K = 5 \cdot \frac{15}{15} + \frac{64}{15}$

خطوة 4.3.3

اجمع $5$ و $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{64}{15}$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{5 \cdot 15 + 64}{15}$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $5$ في $15$ .

$K = \frac{75 + 64}{15}$

خطوة 4.3.5.2

أضف $75$ و $64$ .

$K = \frac{139}{15}$

خطوة 5

عوّض بـ $\frac{139}{15}$ عن $K$ في $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{139}{15}$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$y = \frac{1}{15} ({(x^{5})}^{3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{5 \cdot 3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.2.1.2

اضرب $5$ في $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{5 \cdot 2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.2.2.2

اضرب $5$ في $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{10} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.2.3

اضرب $- 5$ في $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.2.4

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} \cdot 25 + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.2.5

اضرب $25$ في $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.2.6

ارفع $- 5$ إلى القوة $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} - 125) + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{1}{15} x^{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اجمع $\frac{1}{15}$ و $x^{15}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

أخرِج العامل $15$ من $- 15 x^{10}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.1

أخرِج العامل $15$ من $75 x^{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.4.1

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 (3)} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.4.4.2

أخرِج العامل $5$ من $- 125$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.4.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.4.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{3} \cdot - 25 + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.4.5

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 25$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25}{3} + \frac{139}{15}$

خطوة 5.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} + \frac{139}{15}$

خطوة 5.3

لكتابة $- \frac{25}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{139}{15}$

خطوة 5.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $\frac{25}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{139}{15}$

خطوة 5.4.2

اضرب $3$ في $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{15} + \frac{139}{15}$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25 \cdot 5 + 139}{15}$

خطوة 5.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اضرب $- 25$ في $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 125 + 139}{15}$

خطوة 5.6.2

أضف $- 125$ و $139$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{14}{15}$