حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 4)$ , $y (5) = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 4$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 4) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 4 d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{- y}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

خطوة 2.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

خطوة 2.2.1.2.1.2

اضرب $- y \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 4 d x$

خطوة 2.2.1.2.1.2.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 4 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 4 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 4 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 4 x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$e^{y} = x^{2} - 4 x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

خطوة 3.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وسّع $\ln (e^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

خطوة 3.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

خطوة 3.2.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

خطوة 4

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $5$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ .

$0 = \ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)$

خطوة 5

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ .

$\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$

خطوة 5.2

لإيجاد قيمة $K$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)} = e^{0}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 5^{2} - 4 \cdot 5 + K$

خطوة 5.4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$ .

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

خطوة 5.4.2

بسّط $5^{2} - 4 \cdot 5 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$25 - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

خطوة 5.4.2.1.2

اضرب $- 4$ في $5$ .

$25 - 20 + K = e^{0}$

خطوة 5.4.2.2

اطرح $20$ من $25$ .

$5 + K = e^{0}$

خطوة 5.4.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$5 + K = 1$

خطوة 5.4.4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.4.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$K = 1 - 5$

خطوة 5.4.4.2

اطرح $5$ من $1$ .

$K = - 4$

خطوة 6

عوّض بـ $- 4$ عن $K$ في $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 4$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x - 4)$