حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{3}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 4 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 4 x^{3} d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $4 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$e^{4 \int x^{3} d x}$

خطوة 1.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$e^{4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)}$

خطوة 1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أعِد كتابة $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ بالصيغة $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$e^{4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{1 x^{4} + C}$

خطوة 1.2.3.2.3

اضرب $x^{4}$ في $1$ .

$e^{x^{4} + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x^{4}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{x^{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{x^{4}}$ .

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{4}} (4 x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

خطوة 2.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$ .

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y e^{x^{4}} = x^{3} e^{x^{4}}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] = x^{3} e^{x^{4}}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x^{4}} y = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لنفترض أن $u_{1} = x^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

افترض أن $u_{1} = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 6.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ بالصيغة ${u_{1}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.2.1.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u_{1}$ .

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 6.2.3

اجمع $\frac{u_{1}}{2}$ و $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

خطوة 6.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 6.4

لنفترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . إذن $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

افترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

أوجِد مشتقة ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

خطوة 6.4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1}$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 6.5

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 6.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 6.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 6.7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 6.8

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

خطوة 6.9

بسّط.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

خطوة 6.10

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ ${u_{1}}^{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{u_{1}}^{2}} + C$

خطوة 6.10.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ على $e^{x^{4}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ على $e^{x^{4}}$ .

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x^{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{{(x^{2})}^{2}}$ و $e^{x^{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

أخرِج العامل $e^{x^{4}}$ من $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}$ .

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

خطوة 7.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

خطوة 7.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

خطوة 7.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}}{1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

خطوة 7.3.1.1.2.4

اقسِم $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{4} e^{x^{2 \cdot 2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

خطوة 7.3.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{1}{4} e^{x^{4} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

خطوة 7.3.1.3

اطرح $x^{4}$ من $x^{4}$ .

$y = \frac{1}{4} e^{0} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

خطوة 7.3.1.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

خطوة 7.3.1.5

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$y = \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$