حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} + 4 y = 5$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 4 d t}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{4 t + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{4 t}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{4 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + e^{4 t} (4 y) = e^{4 t} \cdot 5$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = e^{4 t} \cdot 5$

خطوة 2.3

انقُل $5$ إلى يسار $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 5 \cdot e^{4 t}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 5 e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 y e^{4 t} = 5 e^{4 t}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} y] = 5 e^{4 t}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [e^{4 t} y] d t = \int 5 e^{4 t} d t$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{4 t} y = \int 5 e^{4 t} d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$e^{4 t} y = 5 \int e^{4 t} d t$

خطوة 6.2

لنفترض أن $u = 4 t$ . إذن $d u = 4 d t$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

افترض أن $u = 4 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أوجِد مشتقة $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

خطوة 6.2.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $4 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 6.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{4 t} y = 5 \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

خطوة 6.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 t} y = 5 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

خطوة 6.4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$e^{4 t} y = 5 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.5

اجمع $\frac{1}{4}$ و $5$ .

$e^{4 t} y = \frac{5}{4} \int e^{u} d u$

خطوة 6.6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{4 t} y = \frac{5}{4} (e^{u} + C)$

خطوة 6.7

بسّط.

$e^{4 t} y = \frac{5}{4} e^{u} + C$

خطوة 6.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 t$ .

$e^{4 t} y = \frac{5}{4} e^{4 t} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{4 t} y = \frac{5}{4} e^{4 t} + C$ على $e^{4 t}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{4 t} y = \frac{5}{4} e^{4 t} + C$ على $e^{4 t}$ .

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{5}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{4 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{5}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{4 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{5}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

خطوة 7.3.1.2

اقسِم $\frac{5}{4}$ على $1$ .

$y = \frac{5}{4} + \frac{C}{e^{4 t}}$