حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x + y \frac{d y}{d x} = 2$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $y \frac{d y}{d x} = 2 - x$ على $y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $y \frac{d y}{d x} = 2 - x$ على $y$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} - \frac{x}{y}$

خطوة 1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - x}{y}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 - x}{y}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 - x}{y}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = (2 - x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int 2 - x d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 - x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 d x + \int - x d x$

خطوة 2.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int - x d x$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} - \int x d x$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + 2 x + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 (2 x) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 (2 x) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = - x^{2} + 2 (2 x) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y^{2} = - x^{2} + 4 x + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + K}$