حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (2 x - \frac{1}{x^{2}}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 2 x - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 2 x - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.5.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.5.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \int x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - (- x^{- 1} + C_{3})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بسّط.

$y + C_{1} = x^{2} - - x^{- 1} + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = x^{2} + 1 x^{- 1} + C_{4}$

خطوة 2.3.7.2.2

اضرب $x^{- 1}$ في $1$ .

$y + C_{1} = x^{2} + x^{- 1} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = x^{2} + x^{- 1} + K$