حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x}$ for $y = x^{21}$

خطوة 1

اكتب المسألة في صورة عبارة رياضية.

$\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{21}$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{21}$ على $y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{21}$ على $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{x^{21}}{y}$

خطوة 2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{x^{21}}{y}$

خطوة 2.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{21}}{y}$

خطوة 2.2

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{21}}{y}$

خطوة 2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{21}}{y}$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = x^{21}$

خطوة 2.4

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = x^{21} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int x^{21} d x$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{21} d x$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{21}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{22} x^{22}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{22} x^{22} + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{22} x^{22} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

خطوة 4.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

خطوة 4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

خطوة 4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{22}$ و $x^{22}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{22}}{22} + K)$

خطوة 4.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{x^{22}}{22} + 2 K$

خطوة 4.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $22$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{22}}{2 (11)} + 2 K$

خطوة 4.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{x^{22}}{2 \cdot 11} + 2 K$

خطوة 4.2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = \frac{x^{22}}{11} + 2 K$

خطوة 4.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + 2 K}$

خطوة 4.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + 2 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

لكتابة $2 K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{11}{11}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + 2 K \cdot \frac{11}{11}}$

خطوة 4.4.2

اجمع $2 K$ و $\frac{11}{11}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + \frac{2 K \cdot 11}{11}}$

خطوة 4.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22} + 2 K \cdot 11}{11}}$

خطوة 4.4.4

اضرب $11$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22} + 22 K}{11}}$

خطوة 4.4.5

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{x^{22} + 22 K}{11}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$

خطوة 4.4.6

اضرب $\frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$ في $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

خطوة 4.4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.7.1

اضرب $\frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$ في $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

خطوة 4.4.7.2

ارفع $\sqrt{11}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}}$

خطوة 4.4.7.3

ارفع $\sqrt{11}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}}$

خطوة 4.4.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

خطوة 4.4.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

خطوة 4.4.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{11}}^{2}$ بالصيغة $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{11}$ في صورة $11^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.4.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.4.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.4.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.4.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{1}}$

خطوة 4.4.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11}$

خطوة 4.4.8

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{22} + 22 K) \cdot 11}}{11}$

خطوة 4.4.9

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(x^{22} + 22 K) \cdot 11}}{11}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

خطوة 4.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

خطوة 4.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

خطوة 4.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

خطوة 5

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + K)}}{11}$