حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = e^{x} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + y^{2}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3

بما أن $e^{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $e^{x}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

خطوة 1.5

أضف $0$ و $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- \frac{1}{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{e^{x}}{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

خطوة 2.4.3

اجمع $e^{x}$ و $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $- 2 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + 0$

خطوة 2.5.2

أضف $y - \frac{e^{x}}{y}$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $y - \frac{e^{x}}{y}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $y - \frac{e^{x}}{y}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 y$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $e^{x} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $e^{x} + y^{2}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{e^{x} + y^{2}}$

خطوة 4.3.2

اضرب بسط الكسر وقاسمه في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب $\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$ في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y}{y} \cdot \frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$

خطوة 4.3.2.2

اجمع.

$\frac{y (y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y)}{y (e^{x} + y^{2})}$

خطوة 4.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y \cdot y + y (- \frac{e^{x}}{y}) + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{x}}{y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

خطوة 4.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

خطوة 4.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \cdot y - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

خطوة 4.3.5.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y \cdot y}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

خطوة 4.3.5.3

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.3.1

انقُل $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 (y \cdot y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

خطوة 4.3.5.3.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

خطوة 4.3.5.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

خطوة 4.3.5.5

اطرح $2 y^{2}$ من $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

خطوة 4.3.6

أخرِج العامل $y$ من $y e^{x} + y \cdot y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

أخرِج العامل $y$ من $y e^{x}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y \cdot y^{2}}$

خطوة 4.3.6.2

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y (y^{2})}$

خطوة 4.3.6.3

أخرِج العامل $y$ من $y (e^{x}) + y (y^{2})$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

خطوة 4.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $- y^{2} - e^{x}$ و $e^{x} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- y^{2}$ .

$\frac{- (y^{2}) - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

خطوة 4.3.7.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- e^{x}$ .

$\frac{- (y^{2}) - (e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

خطوة 4.3.7.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y^{2}) - (e^{x})$ .

$\frac{- (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

خطوة 4.3.7.4

أعِد كتابة $- (y^{2} + e^{x})$ بالصيغة $- 1 (y^{2} + e^{x})$ .

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

خطوة 4.3.7.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

خطوة 4.3.7.6

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

خطوة 4.3.7.7

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{y}$

خطوة 4.3.8

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $e^{x} + y^{2}$ .

$- \frac{1}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $- \ln (| y |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

خطوة 5.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $e^{x} + y^{2}$ في $\frac{1}{y}$ .

$(e^{x} + y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $e^{x} + y^{2}$ في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

خطوة 6.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

لكتابة $x y$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y}{y} - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

خطوة 6.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

خطوة 6.5.3

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.3.1

انقُل $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x (y \cdot y) - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

خطوة 6.5.3.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

خطوة 6.5.4

لكتابة $- 2 y^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2} \cdot \frac{y}{y}}{y} d y = 0$

خطوة 6.5.5

اجمع $- 2 y^{2}$ و $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} + \frac{- 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

خطوة 6.5.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

خطوة 6.5.7

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.7.1

انقُل $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y \cdot y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

خطوة 6.5.7.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.7.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y^{1} y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

خطوة 6.5.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{1 + 2}}{y}}{y} d y = 0$

خطوة 6.5.7.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}}{y} d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 6.7

اضرب $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

اضرب $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}$ في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y \cdot y} d y = 0$

خطوة 6.7.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y} d y = 0$

خطوة 6.7.3

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y^{1}} d y = 0$

خطوة 6.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1 + 1}} d y = 0$

خطوة 6.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{e^{x} + y^{2}}{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} + \frac{y^{2}}{y} d x$

خطوة 8.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y^{2}}{y} d x$

خطوة 8.3

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y} d x$

خطوة 8.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d x$

خطوة 8.3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

خطوة 8.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

خطوة 8.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y}{1} d x$

خطوة 8.3.2.5

اقسِم $y$ على $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int y d x$

خطوة 8.4

بما أن $\frac{1}{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{y}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int e^{x} d x + \int y d x$

خطوة 8.5

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + \int y d x$

خطوة 8.6

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + y x + C$

خطوة 8.7

بسّط.

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $e^{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{e^{x}}{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y}$ بالصيغة $y^{- 1}$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.4.3

اضرب $x$ في $1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x} (- \frac{1}{y^{2}}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.6.2

اجمع $e^{x}$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{y^{2}} + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

خطوة 11.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اطرح $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} - \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2}) - - e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.2.1

اضرب $- - e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + 1 e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2.1.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.1

أضف $- e^{x}$ و $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 0 + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2

أضف $- x y^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- x y^{2} + 2 y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- x y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5.1.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5.1.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2.2

اقسِم $- x + 2 y$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y = 0$

خطوة 12.1.1.6

جمّع الحدود المتعاكسة في $\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.6.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 + 2 y = 0$

خطوة 12.1.1.6.2

أضف $\frac{d g}{d y}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y = 0$

خطوة 12.1.2

اطرح $2 y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- 2 y$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

خطوة 13.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$g (y) = - 2 \int y d y$

خطوة 13.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 13.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

أعِد كتابة $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

خطوة 13.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x - y^{2} + C$