حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x + 1) (y + 1) d y - x y^{2} d x = 0$

خطوة 1

أضف $x y^{2} d x$ إلى كلا المتعادلين.

$(x + 1) (y + 1) d y = x y^{2} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(x + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(x + 1) y^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x + 1$ من $(x + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (y^{2})} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(x + 1) y^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2}} (y + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{1}{y^{2}}$ في $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $(x + 1) y^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (x y^{2}) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x y^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (y^{2} x) d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (y^{2} x) d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{1}{x + 1}$ و $x$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y + 1}{y^{2}} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

انقُل $y^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int (y + 1) y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.2.2

اضرب $(y + 1) y^{- 2}$ .

$\int y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اضرب $y$ في $y^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

اضرب $y$ في $y^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int y^{1} y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.2.3.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int y^{1 - 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.2.3.1.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\int y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $y^{- 2}$ في $1$ .

$\int y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.2.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.2.5

تكامل $y^{- 1}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.2.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- y^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - y^{- 1} + C_{2} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.2.7

بسّط.

$\ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.2.8

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم $x$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

خطوة 4.3.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

خطوة 4.3.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

خطوة 4.3.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

خطوة 4.3.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

خطوة 4.3.1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 4.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 4.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 4.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 4.3.5

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 4.3.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.3.5.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.3.5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5})$

خطوة 4.3.7

بسّط.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x - \ln (| u |) + C_{6}$

خطوة 4.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$