حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(e^{2 x} + 5) d y + y e^{2 x} d x = 0$

خطوة 1

اطرح $y e^{2 x} d x$ من كلا المتعادلين.

$(e^{2 x} + 5) d y = - y e^{2 x} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ .

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $e^{2 x} + 5$ من $(e^{2 x} + 5) y$ .

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) (y)} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $(e^{2 x} + 5) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y (e^{2 x})) d x$

خطوة 3.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

خطوة 3.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{e^{2 x} + 5} e^{2 x} d x$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{- 1}{e^{2 x} + 5}$ و $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

خطوة 3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

خطوة 4.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u_{2} = e^{2 x} + 5$ . إذن $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u_{2} = e^{2 x} + 5$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{2 x} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + 5]$

خطوة 4.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{2 x} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 4.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 4.3.2.1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 4.3.2.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 4.3.2.1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 4.3.2.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 4.3.2.1.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 4.3.2.1.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 4.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 e^{2 x} + 0$

خطوة 4.3.2.1.4.2

أضف $2 e^{2 x}$ و $0$ .

$2 e^{2 x}$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 4.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 4.3.5

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 4.3.6

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{2 x} + 5$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C$