حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x - (1 - \ln (x)) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \ln (x) + \frac{y}{x}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

خطوة 1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

خطوة 1.2.3

بما أن $\ln (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $\frac{1}{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{y}{x}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x}$

خطوة 1.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

خطوة 1.4.2

أضف $0$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 - \ln (x))]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (1 - \ln (x))$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

خطوة 2.2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

خطوة 2.2.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.2.6

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.2.6.2

اضرب $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $\frac{1}{x}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $\frac{1}{x}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (1 - \ln (x)) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - (1 - \ln (x)) y + C$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $- (1 - \ln (x)) y + C$ بالصيغة $(- 1 + \ln (x)) y + C$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y + g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $(- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $(- 1 + \ln (x)) y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

خطوة 8.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 1 + \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$y (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

خطوة 8.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

خطوة 8.3.4

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$y (0 + \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

خطوة 8.3.5

أضف $0$ و $\frac{1}{x}$ .

$y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

خطوة 8.3.6

اجمع $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

اطرح $\ln (x)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) = 1 + \frac{y}{x}$

خطوة 9.1.1.2

اطرح $\frac{y}{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x} = 1$

خطوة 9.1.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.3.1

اطرح $\frac{y}{x}$ من $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 - \ln (x) = 1$

خطوة 9.1.1.3.2

أضف $\frac{d g}{d x}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} - \ln (x) = 1$

خطوة 9.1.2

أضف $\ln (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $1 + \ln (x)$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \ln (x) d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 1 + \ln (x) d x$

خطوة 10.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (x) = \int d x + \int \ln (x) d x$

خطوة 10.4

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = x + C + \int \ln (x) d x$

خطوة 10.5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = 1$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

خطوة 10.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 10.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 10.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int d x$

خطوة 10.7

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - (x + C)$

خطوة 10.8

بسّط.

$g (x) = x + \ln (x) x - x + C$

خطوة 10.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.9.1

اطرح $x$ من $x$ .

$g (x) = \ln (x) x + 0 + C$

خطوة 10.9.2

أضف $\ln (x) x$ و $0$ .

$g (x) = \ln (x) x + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$

خطوة 12

بسّط $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = - 1 y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

خطوة 12.1.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

خطوة 12.2

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$ .

$f (x, y) = - y + y \ln (x) + x \ln (x) + C$