حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$

خطوة 1

لحل المعادلة التفاضلية، افترض أن $v = y^{1 - n}$ حيث $n$ هو أُس $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 3

خُذ مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 4

خُذ مشتق $v^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

خُذ مشتق $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.4.2

اضرب الأُسس في ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

خطوة 4.5

بسّط.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

خطوة 4.6.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

اضرب $v^{\frac{1}{2}}$ في $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

خطوة 4.6.2.2

اطرح $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ من $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

خطوة 4.6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 4.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 4.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 4.8

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 4.9

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 4.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 4.11.2

اطرح $2$ من $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 4.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 4.13

اجمع $\frac{1}{2}$ و $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 4.14

انقُل $v^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

خطوة 4.15

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

خطوة 4.16

اجمع $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ و $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

خطوة 4.17

أعِد كتابة $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ في صورة حاصل ضرب.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

خطوة 4.18

اضرب $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

خطوة 4.19

ارفع $v$ إلى القوة $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 4.20

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

خطوة 4.21

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

خطوة 4.22

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

خطوة 4.23

أضف $2$ و $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $v^{- \frac{1}{2}}$ عن $y$ في المعادلة الأصلية $\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d v}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} = 0$

خطوة 6.1.1.1.2

اضرب الأُسس في ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} = 0$

خطوة 6.1.1.1.2.2

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.2.2.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- 3 (\frac{1}{2})} = 0$

خطوة 6.1.1.1.2.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{\frac{- 3}{2}} = 0$

خطوة 6.1.1.1.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{3}{2}} = 0$

خطوة 6.1.1.1.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = 0$

خطوة 6.1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d v}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

أضف $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ إلى كلا المتعادلين.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.1.1.2.2

أضف $\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ إلى كلا المتعادلين.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6.1.1.3

اقسِم كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ على $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

خطوة 6.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

خطوة 6.1.1.3.2.2

اقسِم $\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ على $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

خطوة 6.1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

خطوة 6.1.1.3.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

خطوة 6.1.1.3.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6.1.1.3.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ بالصيغة $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6.1.1.4

اضرب كلا الطرفين في $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.5.1.1

بسّط $\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.5.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.1.1.5.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.5.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.1.1.5.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.1.1.5.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $v^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.5.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.1.1.5.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.1.1.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.5.2.1

بسّط $(- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.5.2.1.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.1.1.5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $v^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.5.2.1.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.1.1.5.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $v^{\frac{1}{2}}$ من $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.1.1.5.2.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.1.1.5.2.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} = - 1 (2 v^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.1.1.5.2.1.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.1.1.5.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $v^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.5.2.1.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.1.1.5.2.1.1.4.2

أخرِج العامل $v^{\frac{3}{2}}$ من $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

خطوة 6.1.1.5.2.1.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

خطوة 6.1.1.5.2.1.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 2$

خطوة 6.1.1.5.2.1.1.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 2$

خطوة 6.1.1.5.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.5.2.1.2.1

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{1} - 2$

خطوة 6.1.1.5.2.1.2.2

بسّط.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v - 2$

خطوة 6.1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{- 2 v - 2}$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v - 2} (- 2 v - 2)$

خطوة 6.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 v - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 v$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) - 2} (- 2 v - 2)$

خطوة 6.1.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) + 2 (- 1)} (- 2 v - 2)$

خطوة 6.1.3.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- v) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v - 1)} (- 2 v - 2)$

خطوة 6.1.3.2

اضرب $\frac{1}{2 (- v - 1)}$ في $- 2 v - 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v - 2}{2 (- v - 1)}$

خطوة 6.1.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2 v - 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 v$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) - 2}{2 (- v - 1)}$

خطوة 6.1.3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) + 2 \cdot - 1}{2 (- v - 1)}$

خطوة 6.1.3.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- v) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

خطوة 6.1.3.3.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

خطوة 6.1.3.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

خطوة 6.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $- v - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

خطوة 6.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = 1$

خطوة 6.1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{- 2 v - 2} d v = 1 d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{- 2 v - 2} d v = \int d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

لنفترض أن $u_{2} = - 2 v - 2$ . إذن $d u_{2} = - 2 d v$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

افترض أن $u_{2} = - 2 v - 2$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 v - 2$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v - 2]$

خطوة 6.2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 v - 2$ بالنسبة إلى $v$ هو $\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

خطوة 6.2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، إذن مشتق $- 2 v$ بالنسبة إلى $v$ يساوي $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$- 2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

خطوة 6.2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 2]$

خطوة 6.2.2.1.1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d v} [- 2]$

خطوة 6.2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.4.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $v$ هو $0$ .

$- 2 + 0$

خطوة 6.2.2.1.1.4.2

أضف $- 2$ و $0$ .

$- 2$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2} = \int d x$

خطوة 6.2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} = \int d x$

خطوة 6.2.2.2.2

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d x$

خطوة 6.2.2.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

خطوة 6.2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

خطوة 6.2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

خطوة 6.2.2.5

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int d x$

خطوة 6.2.2.6

بسّط.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 6.2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 2 v - 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 6.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) = x + C$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب كلا المتعادلين في $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |)) = - 2 (x + C)$

خطوة 6.3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

بسّط $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

اجمع $\ln (| - 2 v - 2 |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}) = - 2 (x + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.3.2

اضرب $\ln (| - 2 v - 2 |)$ في $1$ .

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

خطوة 6.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$

خطوة 6.3.3

لإيجاد قيمة $v$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| - 2 v - 2 |)} = e^{- 2 x - 2 C}$

خطوة 6.3.4

أعِد كتابة $\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x - 2 C} = | - 2 v - 2 |$

خطوة 6.3.5

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$ .

$| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$

خطوة 6.3.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$- 2 v - 2 = \pm e^{- 2 x - 2 C}$

خطوة 6.3.5.3

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$

خطوة 6.3.5.4

اقسِم كل حد في $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.4.1

اقسِم كل حد في $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

خطوة 6.3.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

خطوة 6.3.5.4.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

خطوة 6.3.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.4.3.1.1

بسّط $\frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{2}{- 2}$

خطوة 6.3.5.4.3.1.2

اقسِم $2$ على $- 2$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1$

خطوة 6.3.5.4.3.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 6.3.5.4.3.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.3.5.4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.3.5.4.3.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 2}{2}$

خطوة 6.4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط ثابت التكامل.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x + C} - 2}{2}$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة $e^{- 2 x + C}$ بالصيغة $e^{- 2 x} e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x} e^{C} - 2}{2}$

خطوة 6.4.3

أعِد ترتيب $e^{- 2 x}$ و $e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x} - 2}{2}$

خطوة 6.4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$v = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $v$ التي تساوي $y^{- 2}$ .

$y^{- 2} = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$