حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x - y - 3) d x - (x + 4 y + 3) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x - y - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x - y - 3]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - y - 3$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

خطوة 1.2.2

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

خطوة 1.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 + 0$

خطوة 1.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 + 0$

خطوة 1.5.2

أضف $- 1$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - (x + 4 y + 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x + 4 y + 3)]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (x + 4 y + 3)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x + 4 y + 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x + 4 y + 3]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4 y + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 2.5

بما أن $4 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0 + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 2.6

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 2.7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

خطوة 2.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = - 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- 1 = - 1$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x + 4 y + 3) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - (x + 4 y + 3)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - \int x + 4 y + 3 d y$

خطوة 5.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = - (\int x d y + \int 4 y d y + \int 3 d y)$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - (x y + C + \int 4 y d y + \int 3 d y)$

خطوة 5.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - (x y + C + 4 \int y d y + \int 3 d y)$

خطوة 5.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 3 d y)$

خطوة 5.6

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 3 y + C)$

خطوة 5.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) + 3 y + C)$

خطوة 5.8

بسّط.

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - y - 3$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)] = 2 x - y - 3$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (x y + 2 y^{2} + 3 y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} + 3 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} + 3 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

خطوة 8.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y + 2 y^{2} + 3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

خطوة 8.3.3

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

خطوة 8.3.5

بما أن $2 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- (y \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

خطوة 8.3.6

بما أن $3 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- (y \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

خطوة 8.3.7

اضرب $y$ في $1$ .

$- (y + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

خطوة 8.3.8

أضف $y$ و $0$ .

$- (y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

خطوة 8.3.9

أضف $y$ و $0$ .

$- y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = 2 x - y - 3$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - y = 2 x - y - 3$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أضف $y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 2 x - y - 3 + y$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x - y - 3 + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أضف $- y$ و $y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0 - 3$

خطوة 9.1.2.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 3$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $2 x - 3$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 2 x - 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x - 3 d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x - 3 d x$

خطوة 10.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (x) = \int 2 x d x + \int - 3 d x$

خطوة 10.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (x) = 2 \int x d x + \int - 3 d x$

خطوة 10.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x$

خطوة 10.6

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C$

خطوة 10.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C$

خطوة 10.8

بسّط.

$g (x) = x^{2} - 3 x + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + x^{2} - 3 x + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = - (x y) - (2 y^{2}) - (3 y) + x^{2} - 3 x + C$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x, y) = - x y - 2 y^{2} - (3 y) + x^{2} - 3 x + C$

خطوة 12.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f (x, y) = - x y - 2 y^{2} - 3 y + x^{2} - 3 x + C$