حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x + 1}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{1}{2 x + 1} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

خطوة 2.2.1.2

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

خطوة 2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

خطوة 2.2.1.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

خطوة 2.2.1.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = 2 x + 1$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = 2 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 2.3.1.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$ على $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.2.2

اقسِم $y^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

بسّط $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.2

أعِد كتابة $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.3

بسّط $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.4

اضرب الأُسس في ${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.4.2

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.4.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}) + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.1.4.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.2

لكتابة $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.3.1

اجمع $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ و $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 3.1.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2 + C}{2}$

خطوة 3.1.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.4.1

اضرب $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.4.1.1

أعِد ترتيب $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ و $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \cdot \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C}{2}$

خطوة 3.1.3.4.1.2

بسّط $2 \cdot \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}) + C}{2}$

خطوة 3.1.3.4.2

اضرب الأُسس في ${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2}) + C}{2}$

خطوة 3.1.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}) + C}{2}$

خطوة 3.1.3.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}) + C}{2}$

خطوة 3.1.3.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2}$

خطوة 3.2

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

خطوة 3.3

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

بسّط ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{1} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.2

بسّط.

$y = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط ${(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

قسّم الكسر $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2}$ إلى كسرين.

$y = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = {(\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2.2

بسّط $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$y = {(\ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2.3

اضرب الأُسس في ${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2.3.2

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C)}^{2}$