حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} \frac{d x}{d y} + x y = 2 y^{2} + 1$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + x (y) = 2 y^{2} + 1$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $x$ و $y$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y x = 2 y^{2} + 1$

خطوة 1.3

اقسِم كل حد في $y^{2} \frac{d x}{d y} + y x = 2 y^{2} + 1$ على $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.4.2

اقسِم $\frac{d x}{d y}$ على $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.5

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أخرِج العامل $y$ من $y x$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y (x)}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y (x)}{y \cdot y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d x}{d y} + \frac{y x}{y \cdot y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.6.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.7

أخرِج العامل $x$ من $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{1}{y} = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.8

أعِد ترتيب $x$ و $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{1}{y} x = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (y) d y}$ ، حيث $P (y) = \frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$e^{\ln (| y |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (y)}$

خطوة 2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$y$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $y$ .

$y \frac{d x}{d y} + y (\frac{1}{y} x) = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{y}$ و $x$ .

$y \frac{d x}{d y} + y \frac{x}{y} = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d x}{d y} + y \frac{x}{y} = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d x}{d y} + x = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 \cdot y + y \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + y \frac{1}{y \cdot y}$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + y \frac{1}{y \cdot y}$

خطوة 3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + \frac{1}{y}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d y} [y x] = 2 y + \frac{1}{y}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d y} [y x] d y = \int 2 y + \frac{1}{y} d y$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$y x = \int 2 y + \frac{1}{y} d y$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y x = \int 2 y d y + \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 7.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y x = 2 \int y d y + \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y x = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 7.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$y x = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (| y |) + C$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$y x = 2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (| y |) + C$

خطوة 7.5.2

بسّط.

$y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$ على $y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$ على $y$ .

$\frac{y x}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y x}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

خطوة 8.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

خطوة 8.3.1.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

خطوة 8.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

خطوة 8.3.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{y}{1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

خطوة 8.3.1.2.5

اقسِم $y$ على $1$ .

$x = y + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$