حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (2 + y)}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{2 + y}$ .

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{3 (2 + y)}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $2 + y$ من $3 (2 + y)$ .

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{(2 + y) \cdot 3}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{(2 + y) \cdot 3}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{2 + y} d y = \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{2 + y} d y = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 2 + y$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 2 + y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 + y$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{{(3 - x)}^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{2} = 3 - x$ . إذن $d u_{2} = - d x$ ، لذا $- d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{2} = 3 - x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2

انقُل ${u_{2}}^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.3

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- 2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $- 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ بالصيغة $- 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \frac{3}{u_{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 - x$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \frac{3}{3 - x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| 2 + y |) = \frac{3}{3 - x} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 2 + y |)} = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| 2 + y |) = \frac{3}{3 - x} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3}{3 - x} + C} = | 2 + y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$

خطوة 3.3.2

بسّط $e^{\frac{3}{3 - x} + C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + \frac{C (3 - x)}{3 - x}}$

خطوة 3.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + C (3 - x)}{3 - x}}$

خطوة 3.3.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + C \cdot 3 + C (- x)}{3 - x}}$

خطوة 3.3.2.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $C$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + 3 \cdot C + C (- x)}{3 - x}}$

خطوة 3.3.2.3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$2 + y = \pm e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}}$

خطوة 3.3.4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$y = \pm e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}} - 2$

خطوة 3.3.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.1

قسّم الكسر $\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}$ إلى كسرين.

$y = \pm e^{\frac{3 + 3 C}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

خطوة 3.3.4.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 + 3 C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.2.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$y = \pm e^{\frac{3 \cdot 1 + 3 C}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

خطوة 3.3.4.2.2.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 \cdot 1 + 3 C$ .

$y = \pm e^{\frac{3 (1 + C)}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

خطوة 3.3.4.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \pm e^{\frac{3 (1 + C)}{3 - x} - \frac{C x}{3 - x}} - 2$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm e^{\frac{C}{3 - x} - \frac{C x}{3 - x}} - 2$