حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$d x - 4 x y^{3} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $d x$ من كلا المتعادلين.

$- 4 x y^{3} d y = - d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (- 4 x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 4 \frac{1}{x} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 4}{x} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x y^{3}$ .

$\frac{- 4}{x} (x (y^{3})) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4}{x} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 4 y^{3} d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{1}{x}$ و $- 1$ .

$- 4 y^{3} d y = \frac{- 1}{x} d x$

خطوة 3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 4 y^{3} d y = - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int - 4 y^{3} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$- 4 \int y^{3} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أعِد كتابة $- 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1})$ بالصيغة $- 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C_{1}$ .

$- 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 4}{4} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{1} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- y^{4} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- y^{4} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 4.3.3

بسّط.

$- y^{4} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- y^{4} = - \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $- y^{4} = - \ln (| x |) + C$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اقسِم كل حد في $- y^{4} = - \ln (| x |) + C$ على $- 1$ .

$\frac{- y^{4}}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y^{4}}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.1.2.2

اقسِم $y^{4}$ على $1$ .

$y^{4} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y^{4} = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.1.3.1.2

اقسِم $\ln (| x |)$ على $1$ .

$y^{4} = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

خطوة 5.1.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$y^{4} = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

خطوة 5.1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$y^{4} = \ln (| x |) - C$

خطوة 5.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

خطوة 5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

خطوة 5.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

خطوة 5.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) + C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) + C}$