حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y = \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $x^{3}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{1}$ .

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x}$

خطوة 1.2.3

لنفترض أن $u_{1} = x^{3}$ . إذن $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

افترض أن $u_{1} = x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2}$

خطوة 1.2.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

خطوة 1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بسّط.

$e^{3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

خطوة 1.2.4.2

اضرب $\frac{1}{1 + u_{1}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}}$

خطوة 1.2.4.3

انقُل $3$ إلى يسار $1 + u_{1}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$e^{3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})}$

خطوة 1.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

خطوة 1.2.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

خطوة 1.2.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

خطوة 1.2.6.3

اضرب $\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ في $1$ .

$e^{\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

خطوة 1.2.7

لنفترض أن $u_{2} = 1 + u_{1}$ . إذن $d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

افترض أن $u_{2} = 1 + u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1.1

أوجِد مشتقة $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

خطوة 1.2.7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 1.2.7.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 1.2.7.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 1.2.7.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 1.2.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$e^{\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}}$

خطوة 1.2.8

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{\ln (| u_{2} |) + C}$

خطوة 1.2.9

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + u_{1}$ .

$e^{\ln (| 1 + u_{1} |) + C}$

خطوة 1.2.9.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{3}$ .

$e^{\ln (| 1 + x^{3} |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (1 + x^{3})}$

خطوة 1.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$1 + x^{3}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $1 + x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $1 + x^{3}$ .

$(1 + x^{3}) \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2.2

اضرب $\frac{d y}{d x}$ في $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1^{3} + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2.3.3.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2.4

اجمع $\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ و $y$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) \frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2.5

اضرب $1 + x^{3}$ في $\frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x^{3}) (3 x^{2} y)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1^{3} + x^{3}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2.6.2

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2.6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2.6.3.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2.7

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.2.8.2

اقسِم $3 x^{2} y$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

خطوة 2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1^{3} + x^{3}}$

خطوة 2.3.2

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

خطوة 2.4

اضرب $1 + x^{3}$ في $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

خطوة 2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1^{3} + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

خطوة 2.5.2

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

خطوة 2.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

خطوة 2.5.3.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

خطوة 2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

خطوة 2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

خطوة 2.7

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

خطوة 2.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 1$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] = 1$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] d x = \int d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$(1 + x^{3}) y = \int d x$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$(1 + x^{3}) y = x + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $(1 + x^{3}) y = x + C$ على $1 + x^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $(1 + x^{3}) y = x + C$ على $1 + x^{3}$ .

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$y = \frac{x}{1^{3} + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

خطوة 7.3.1.1.2

$y = \frac{x}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

خطوة 7.3.1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

خطوة 7.3.1.1.3.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

خطوة 7.3.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1^{3} + x^{3}}$

خطوة 7.3.1.2.2

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

خطوة 7.3.1.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

خطوة 7.3.1.2.3.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$