حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 2 x$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 3 d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{3 x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{3 x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (2 x)$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (2 x)$

خطوة 2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 x e^{3 x}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 x e^{3 x}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 x e^{3 x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{3 x} y = 2 \int x e^{3 x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

خطوة 6.3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

خطوة 6.3.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

خطوة 6.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

خطوة 6.5

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 6.5.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 6.5.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 6.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

خطوة 6.6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

خطوة 6.7

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

خطوة 6.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.8.2

اضرب $3$ في $3$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

خطوة 6.10

أعِد كتابة $2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ بالصيغة $2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

خطوة 6.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

خطوة 7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع $e^{3 x}$ و $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 7.1.2

احذِف الأقواس.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 7.2

اقسِم كل حد في $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ على $e^{3 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اقسِم كل حد في $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ على $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1.1

أخرِج العامل $e^{3 x}$ من $\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1.1.1

أخرِج العامل $e^{3 x}$ من $\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.1.1.2

أخرِج العامل $e^{3 x}$ من $- \frac{e^{3 x}}{9}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.1.1.3

أخرِج العامل $e^{3 x}$ من $e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9})$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x - \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.1.3

لكتابة $\frac{x}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.1.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $9$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1.4.1

اضرب $\frac{x}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.1.4.2

اضرب $3$ في $3$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{9} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{x \cdot 3 - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.1.6

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{3 x - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.1.7

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1.7.1

اجمع $\frac{3 x - 1}{9}$ و $2$ .

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.1.7.2

اجمع $\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9}$ و $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2 e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.1.8

انقُل $2$ إلى يسار $3 x - 1$ .

$y = \frac{\frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9} \cdot \frac{1}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.3

اجمع.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{2 (3 x - 1) \cdot 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.1.5

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.2

لكتابة $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.3

لكتابة $\frac{C}{e^{3 x}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

خطوة 7.2.3.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $9 e^{3 x}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.4.1

اضرب $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ في $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

خطوة 7.2.3.4.2

اضرب $\frac{C}{e^{3 x}}$ في $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

خطوة 7.2.3.4.3

أعِد ترتيب عوامل $e^{3 x} \cdot 9$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.6.2

اضرب $3$ في $2$ .

$y = \frac{(6 x + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.6.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = \frac{(6 x - 2) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

خطوة 7.2.3.6.5

انقُل $9$ إلى يسار $C$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$