حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y + 3}{4 x + 5}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{2 y + 3}$ .

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 3} \cdot \frac{2 y + 3}{4 x + 5}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 3} \cdot \frac{2 y + 3}{4 x + 5}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x + 5}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{2 y + 3} d y = \frac{1}{4 x + 5} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{2 y + 3} d y = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 2 y + 3$ . إذن $d u_{1} = 2 d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 2 y + 3$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $2 y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 3]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y + 3$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 2.2.1.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 y + 3$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = 4 x + 5$ . إذن $d u_{2} = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = 4 x + 5$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $4 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 5]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.3.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.3.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.3.1.1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 2.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 + 0$

خطوة 2.3.1.1.4.2

أضف $4$ و $0$ .

$4$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

خطوة 2.3.2.2

انقُل $4$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x + 5$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) = \frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |)) = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| 2 y + 3 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 3 |)}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 3 |)}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\ln (| 4 x + 5 |)$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{4} + C)$

خطوة 3.2.2.1.2

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{4} + C \cdot \frac{4}{4})$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اجمع $C$ و $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4})$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{4}$

خطوة 3.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{2 (2)}$

خطوة 3.2.2.1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.2.2.1.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 2 y + 3 |) = \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{2}$

خطوة 3.2.2.1.4

انقُل $4$ إلى يسار $C$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 2 y + 3 |)} = e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (| 2 y + 3 |) = \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}} = | 2 y + 3 |$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 2 y + 3 | = e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$ .

$| 2 y + 3 | = e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$

خطوة 3.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$2 y + 3 = \pm e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$

خطوة 3.5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$2 y = \pm e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}} - 3$

خطوة 3.5.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

قسّم الكسر $\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}$ إلى كسرين.

$2 y = \pm e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{2} + \frac{4 C}{2}} - 3$

خطوة 3.5.3.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.2.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (| 4 x + 5 |)$ .

$2 y = \pm e^{\frac{1}{2} \ln (| 4 x + 5 |) + \frac{4 C}{2}} - 3$

خطوة 3.5.3.2.2.2

بسّط $\frac{1}{2} \ln (| 4 x + 5 |)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{4 C}{2}} - 3$

خطوة 3.5.3.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 C$ .

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 (2 C)}{2}} - 3$

خطوة 3.5.3.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 (2 C)}{2 (1)}} - 3$

خطوة 3.5.3.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 (2 C)}{2 \cdot 1}} - 3$

خطوة 3.5.3.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 C}{1}} - 3$

خطوة 3.5.3.2.2.3.2.4

اقسِم $2 C$ على $1$ .

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3$

خطوة 3.5.4

اقسِم كل حد في $2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اقسِم كل حد في $2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.5.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} - \frac{3}{2}$

خطوة 3.5.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3}{2}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - 3}{2}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$ بالصيغة $e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} e^{C} - 3}{2}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})}$ و $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} - 3}{2}$

خطوة 4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \frac{C e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} - 3}{2}$