حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x^{6} e^{x^{7}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = x^{6} e^{x^{7}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x^{6} e^{x^{7}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int x^{6} e^{x^{7}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = e^{x^{7}}$ . إذن $d u_{2} = 7 x^{6} e^{x^{7}} d x$ ، لذا $\frac{1}{7} d u_{2} = x^{6} e^{x^{7}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = e^{x^{7}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x^{7}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{7}}]$

خطوة 2.3.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{7}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 2.3.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 2.3.1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{7}$ .

$e^{x^{7}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$e^{x^{7}} (7 x^{6})$

خطوة 2.3.1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{7}} (7 x^{6})$ .

$7 e^{x^{7}} x^{6}$

خطوة 2.3.1.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $7 e^{x^{7}} x^{6}$ .

$7 x^{6} e^{x^{7}}$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{7} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \frac{1}{7} u_{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{x^{7}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{7} e^{x^{7}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{7} e^{x^{7}} + K$