حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$8 y \frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$8 y d y = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 8 y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ بالصيغة $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اجمع $8$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.2.3.2.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 3 x + 2$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 3 x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.2.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 2.3.2.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u^{2}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $u^{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $12$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 2.3.5.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 2.3.5.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 2.3.5.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 2.3.5.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 2.3.5.1.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 2.3.5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3.5.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{- 2} d u$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- u^{- 1} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $4 (- u^{- 1} + C_{2})$ بالصيغة $4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$4 y^{2} + C_{1} = - 4 \frac{1}{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{u}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x + 2$ .

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{3 x + 2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ على $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

خطوة 3.1.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + K}{4}$

خطوة 3.1.3.2

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + \frac{K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

خطوة 3.1.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

خطوة 3.1.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x) + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

خطوة 3.1.3.4.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

خطوة 3.1.3.4.3

انقُل $2$ إلى يسار $K$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

خطوة 3.1.3.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.5.1

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

خطوة 3.1.3.5.2

أخرِج العامل $- 1$ من $3 K x$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) - (- 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

خطوة 3.1.3.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (4) - (- 3 K x)$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

خطوة 3.1.3.5.4

أخرِج العامل $- 1$ من $2 K$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

خطوة 3.1.3.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x - 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

خطوة 3.1.3.5.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = \frac{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}{4}$

خطوة 3.1.3.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 3.1.3.7

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}$ .

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$

خطوة 3.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$

خطوة 3.3

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة $- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$ بالصيغة ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $4 - 3 K x - 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{4 (3 x + 2)}}$

خطوة 3.3.1.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4 (3 x + 2)$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}}$

خطوة 3.3.1.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}$ .

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

خطوة 3.3.1.4

أعِد ترتيب $- 1$ و ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

خطوة 3.3.1.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

خطوة 3.3.1.6

أضف الأقواس.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

خطوة 3.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

خطوة 3.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

خطوة 3.3.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$