حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

خطوة 1

اكتب المسألة في صورة عبارة رياضية.

$x y d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - (x^{2} + 3 y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + 3 y^{2})]$

خطوة 3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (x^{2} + 3 y^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}]$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}])$

خطوة 3.5

بما أن $3 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2 x$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = - 2 x$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$x = - 2 x$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 2 x$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $x$ .

$\frac{- 2 x - x}{M}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x y$ .

$\frac{- 2 x - x}{x y}$

خطوة 5.3.2

اطرح $x$ من $- 2 x$ .

$\frac{- 3 x}{x y}$

خطوة 5.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 x}{x y}$

خطوة 5.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3}{y}$

خطوة 5.3.4

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x y$ .

$- \frac{3}{y}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

خطوة 6.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 6.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 6.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 6.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

خطوة 6.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

بسّط $- 3 \ln (| y |)$ بنقل $- 3$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

خطوة 6.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

خطوة 6.6.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $x y d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $x y$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x y \frac{1}{y^{3}} d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$y x \frac{1}{y^{3}} d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{3}$ .

$y x \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y x \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.3

اجمع $x$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

خطوة 7.4

اضرب $- (x^{2} + 3 y^{2})$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x}{y^{2}} d x + (- x^{2} - (3 y^{2})) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + (- x^{2} - 3 y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7.7

اضرب $- x^{2} - 3 y^{2}$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- x^{2} - 3 y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2}) - 3 y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2}) - (3 y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (3 y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7.11

أعِد كتابة $- (x^{2} + 3 y^{2})$ بالصيغة $- 1 (x^{2} + 3 y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- 1 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 7.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{x}{y^{2}} d x - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{2}} d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{x}{y^{2}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $\frac{1}{y^{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{y^{2}}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int x d x$

خطوة 9.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 9.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 9.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

اضرب $\frac{1}{y^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2} \cdot 2} x^{2} + C$

خطوة 9.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot y^{2}} x^{2} + C$

خطوة 9.3.2.3

اضرب $2$ في $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 y^{2}} x^{2} + C$

خطوة 9.3.2.4

اجمع $\frac{1}{2 y^{2}}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $\frac{x^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y^{2}}$ بالصيغة ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{- 1}$ و $g (y) = y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.5

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.7

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.9

اطرح $4$ من $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.10

اجمع $- 2$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.11

اجمع $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ و $y^{- 3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.12

انقُل $y^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.13

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.13.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 (y^{3})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.3.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 12.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{3}} = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.1

أضف $\frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.3

أضف $- x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 3 y^{2}}{y^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.4

أضف $0$ و $3 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 y^{2}}{y^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.5.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $3 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 3}{y^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.5.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 3}{y^{2} y} = 0$

خطوة 13.1.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 3}{y^{2} y} = 0$

خطوة 13.1.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3}{y} = 0$

خطوة 13.1.2

اطرح $\frac{3}{y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{3}{y}$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $- \frac{3}{y}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - \frac{3}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{3}{y} d y$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{3}{y} d y$

خطوة 14.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - \int \frac{3}{y} d y$

خطوة 14.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$g (y) = - (3 \int \frac{1}{y} d y)$

خطوة 14.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$g (y) = - 3 \int \frac{1}{y} d y$

خطوة 14.6

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$g (y) = - 3 (\ln (| y |) + C)$

خطوة 14.7

بسّط.

$g (y) = - 3 \ln (| y |) + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - 3 \ln (| y |) + C$

خطوة 16

بسّط $- 3 \ln (| y |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - \ln ({| y |}^{3}) + C$