حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} - y^{2}) d x = 2 x (y d) y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $2 x y d y$ من كلا المتعادلين.

$(x^{2} - y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

خطوة 2.2.2

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

خطوة 2.4

اطرح $2 y$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

خطوة 3.2

بما أن $- 2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \cdot 1$

خطوة 3.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $- 2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = - 2 y$

خطوة 4.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- 2 y = - 2 y$ تمثل متطابقة.

خطوة 5

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 2 x y d y$

خطوة 6

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - 2 x y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 2 x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - 2 x \int y d y$

خطوة 6.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 6.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أعِد كتابة $- 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $- 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 6.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

خطوة 6.3.2.2

اجمع $x$ و $\frac{- 2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

خطوة 6.3.2.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$f (x, y) = \frac{- 2 x}{2} y^{2} + C$

خطوة 6.3.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2} y^{2} + C$

خطوة 6.3.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 (1)} y^{2} + C$

خطوة 6.3.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

خطوة 6.3.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{- x}{1} y^{2} + C$

خطوة 6.3.2.4.2.4

اقسِم $- x$ على $1$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + C$

خطوة 7

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$

خطوة 8

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - y^{2}$

خطوة 9

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2} + g (x)] = x^{2} - y^{2}$

خطوة 9.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

خطوة 9.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

بما أن $- y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

خطوة 9.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

خطوة 9.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

خطوة 9.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} + \frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2}$

خطوة 9.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} = x^{2} - y^{2}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أضف $y^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2} + y^{2}$

خطوة 10.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{2} - y^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.1

أضف $- y^{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

خطوة 10.1.2.2

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

خطوة 11

أوجِد المشتق العكسي لـ $x^{2}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} d x$

خطوة 11.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

خطوة 12

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

خطوة 13

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C$