حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 6 \int x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

اجمع $x^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.4.2

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.5

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.6

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.7

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

خطوة 2.3.8

بسّط.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) - x + C_{5}$

خطوة 2.3.9

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ .

$0 = - 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$ .

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

خطوة 4.2

بسّط $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 1 - \frac{3}{1} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $3$ على $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

خطوة 4.2.1.4

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (1) + C = 0$

خطوة 4.2.1.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$- 1 - 3 + 8 \cdot 0 + C = 0$

خطوة 4.2.1.6

اضرب $8$ في $0$ .

$- 1 - 3 + 0 + C = 0$

خطوة 4.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف $- 1 - 3$ و $0$ .

$- 1 - 3 + C = 0$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $3$ من $- 1$ .

$- 4 + C = 0$

خطوة 4.3

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$C = 4$

خطوة 5

عوّض بـ $4$ عن $C$ في $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $4$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + 4$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $8 \ln (| x |)$ بنقل $8$ داخل اللوغاريتم.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln ({| x |}^{8}) + 4$

خطوة 5.2.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{8}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln (x^{8}) + 4$