حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{5} + 16 y \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $x^{5}$ من كلا المتعادلين.

$16 y \frac{d y}{d x} = - x^{5}$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $16 y \frac{d y}{d x} = - x^{5}$ على $16 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $16 y \frac{d y}{d x} = - x^{5}$ على $16 y$ .

$\frac{16 y \frac{d y}{d x}}{16 y} = \frac{- x^{5}}{16 y}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{16 y \frac{d y}{d x}}{16 y} = \frac{- x^{5}}{16 y}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{5}}{16 y}$

خطوة 1.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{5}}{16 y}$

خطوة 1.1.2.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{5}}{16 y}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{5}}{16 y}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{5}}{16 y})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{5}}{16 y}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{5}}{16 y}$

خطوة 1.3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $16 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{5}}{y \cdot 16}$

خطوة 1.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{5}}{y \cdot 16}$

خطوة 1.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{5}}{16}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = - \frac{x^{5}}{16} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int - \frac{x^{5}}{16} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{5}}{16} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{5}}{16} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{1}{16}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{16}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{16} \int x^{5} d x)$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{16} (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{16} (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2})$ بالصيغة $- \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

اضرب $\frac{1}{6}$ في $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{6 \cdot 16} x^{6} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2

اضرب $6$ في $16$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{96} x^{6} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{96} x^{6} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{96} x^{6} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{96} x^{6} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{96} x^{6} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{96} x^{6} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{1}{96} x^{6} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $x^{6}$ و $\frac{1}{96}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{6}}{96} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{6}}{96}) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{6}}{96}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{6}}{96} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

أخرِج العامل $2$ من $96$ .

$y^{2} = 2 \frac{- x^{6}}{2 (48)} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{6}}{2 \cdot 48} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = \frac{- x^{6}}{48} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = - \frac{x^{6}}{48} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{6}}{48} + 2 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{x^{6}}{48} + 2 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لكتابة $2 K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{48}{48}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{6}}{48} + 2 K \cdot \frac{48}{48}}$

خطوة 3.4.2

اجمع $2 K$ و $\frac{48}{48}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{6}}{48} + \frac{2 K \cdot 48}{48}}$

خطوة 3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{6} + 2 K \cdot 48}{48}}$

خطوة 3.4.4

اضرب $48$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{6} + 96 K}{48}}$

خطوة 3.4.5

أعِد كتابة $\frac{- x^{6} + 96 K}{48}$ بالصيغة ${(\frac{1}{4})}^{2} \frac{- x^{6} + 96 K}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $- x^{6} + 96 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{6} + 96 K)}{48}}$

خطوة 3.4.5.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $4^{2}$ من $48$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{6} + 96 K)}{4^{2} \cdot 3}}$

خطوة 3.4.5.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (- x^{6} + 96 K)}{4^{2} \cdot 3}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \frac{- x^{6} + 96 K}{3}}$

خطوة 3.4.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{4} \sqrt{\frac{- x^{6} + 96 K}{3}}$

خطوة 3.4.7

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{- x^{6} + 96 K}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K}}{\sqrt{3}}$

خطوة 3.4.8

اجمع.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- x^{6} + 96 K}}{4 \sqrt{3}}$

خطوة 3.4.9

اضرب $\sqrt{- x^{6} + 96 K}$ في $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K}}{4 \sqrt{3}}$

خطوة 3.4.10

اضرب $\frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K}}{4 \sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K}}{4 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 3.4.11

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.11.1

اضرب $\frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K}}{4 \sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K} \sqrt{3}}{4 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 3.4.11.2

انقُل $\sqrt{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K} \sqrt{3}}{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

خطوة 3.4.11.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K} \sqrt{3}}{4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

خطوة 3.4.11.4

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K} \sqrt{3}}{4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

خطوة 3.4.11.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K} \sqrt{3}}{4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.11.6

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K} \sqrt{3}}{4 {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 3.4.11.7

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.11.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K} \sqrt{3}}{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.11.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K} \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.11.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K} \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.11.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.11.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K} \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.11.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K} \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{1}}$

خطوة 3.4.11.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 96 K} \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

خطوة 3.4.12

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{6} + 96 K) \cdot 3}}{4 \cdot 3}$

خطوة 3.4.13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.13.1

اضرب $4$ في $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{6} + 96 K) \cdot 3}}{12}$

خطوة 3.4.13.2

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(- x^{6} + 96 K) \cdot 3}}{12}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 96 K)}}{12}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 96 K)}}{12}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 96 K)}}{12}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 96 K)}}{12}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 96 K)}}{12}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 96 K)}}{12}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 96 K)}}{12}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 96 K)}}{12}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 96 K)}}{12}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + K)}}{12}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + K)}}{12}$