حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ , $y (1) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 2.3.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.4

وسّع $(x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y + C_{1} = \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = \int x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.4.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.4.6

اطرح $1$ من $2$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.4.7

اضرب $x^{- \frac{1}{2}}$ في $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3}$

خطوة 2.3.8

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

خطوة 4.2

بسّط $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

خطوة 4.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1 + K = 0$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2}{3} + 2 + K = 0$

خطوة 4.2.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 0$

خطوة 4.2.3

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 0$

خطوة 4.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 + 2 \cdot 3}{3} + K = 0$

خطوة 4.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{2 + 6}{3} + K = 0$

خطوة 4.2.5.2

أضف $2$ و $6$ .

$\frac{8}{3} + K = 0$

خطوة 4.3

اطرح $\frac{8}{3}$ من كلا المتعادلين.

$K = - \frac{8}{3}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{8}{3}$ عن $K$ في $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- \frac{8}{3}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$