حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + 6 y = 18$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $6 y$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} - \frac{6 y}{x}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 - 6 y}{x}$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $6$ من $18 - 6 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $18$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) - 6 y}{x}$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $6$ من $- 6 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) + 6 (- y)}{x}$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل $6$ من $6 (3) + 6 (- y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3 - y)}{x}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{6 (3 - y)}{x}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3 - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $3 - y$ من $6 (3 - y)$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{x}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{6}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 3 - y$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 3 - y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 2.2.1.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

خطوة 2.2.2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{6}{x} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| 3 - y |) = 6 \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- \ln (| 3 - y |) - 6 \ln (| x |) = C$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $- 6 \ln (| x |)$ بنقل $6$ داخل اللوغاريتم.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln ({| x |}^{6}) = C$

خطوة 3.2.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{6}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln (x^{6}) = C$

خطوة 3.3

أضف $\ln (x^{6})$ إلى كلا المتعادلين.

$- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$

خطوة 3.4

اقسِم كل حد في $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2

اقسِم $\ln (| 3 - y |)$ على $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

خطوة 3.4.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

خطوة 3.4.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (x^{6})}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C - 1 \cdot \ln (x^{6})$

خطوة 3.4.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (x^{6})$ بالصيغة $- \ln (x^{6})$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C - \ln (x^{6})$

خطوة 3.5

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 3 - y |) + \ln (x^{6}) = - C$

خطوة 3.6

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - y | x^{6}) = - C$

خطوة 3.7

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (| 3 - y | x^{6})$ .

$\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$

خطوة 3.8

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x^{6} | 3 - y |)} = e^{- C}$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = x^{6} | 3 - y |$

خطوة 3.10

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ .

$x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$

خطوة 3.10.2

اقسِم كل حد في $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ على $x^{6}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

اقسِم كل حد في $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ على $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

خطوة 3.10.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

خطوة 3.10.2.2.1.2

اقسِم $| 3 - y |$ على $1$ .

$| 3 - y | = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

خطوة 3.10.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$3 - y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

خطوة 3.10.4

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$

خطوة 3.10.5

اقسِم كل حد في $- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.5.1

اقسِم كل حد في $- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ على $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.10.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.5.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.10.5.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.10.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.5.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.10.5.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ بالصيغة $- (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ .

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 3.10.5.3.1.3

اقسِم $- 3$ على $- 1$ .

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + 3$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = - (\pm \frac{C}{x^{6}}) + 3$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = - (C \frac{1}{x^{6}}) + 3$